Autor Tema: Teorema de Shelah sobre el diamante de Jensen

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11 Agosto, 2017, 05:03 pm
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geómetracat

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Hola,

En el libro de teoría de conjuntos de Carlos Ivorra, teorema 6.29, se enuncia el siguiente teorema de Shelah:

Si \( \kappa \) es un cardinal tal que \( 2^\kappa = \kappa^+ \), entonces se cumple \( \Diamond_E \) para todo conjunto estacionario \( E \) en \( \kappa^+ \) tal que \( E \subset \{\delta < \kappa^+ | cf \delta \neq cf \kappa \} \).

Después se afirma que esto implica en particular que para todo cardinal \( \kappa > \omega \) se cumple que \( 2^\kappa = \kappa^+ \) implica \( \Diamond_{\kappa^+} \).

Tengo un problema con la demostración que se ofrece en el libro de esta última implicación. Se dice que si \( \kappa > \omega \), entonces por el teorema 6.13 del libro se tiene que \( E = \{\delta < \kappa^+ | cf \delta = \aleph_0 \} \) es estacionario en \( \kappa^+ \) y por tanto podemos aplicar el teorema de Shelah. Mi pregunta es, ¿no podría pasar que \( cf \kappa = \aleph_0 \), en cuyo caso el teorema de Shelah no se puede aplicar a \( E \)?

Esto no es problema para el teorema, pues en ese caso se puede aplicar el teorema de Shelah a \( E' = \{\delta < \kappa^+ | cf \delta = \aleph_1 \} \) (porque si \( \kappa > \omega \) pero \( cf \kappa = \aleph_0 \) en particular \( cf \kappa^+ = \kappa^+ > \aleph_1 \) luego \( E' \) es estacionario en \( \kappa^+ \)). Pero me pregunto si no hay algo que no estoy viendo y basta considerar el conjunto \( E \) como dice el libro.

Gracias y saludos
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Agosto, 2017, 06:17 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Pues sí, me temo que se me olvidó considerar ese caso, y la solución es la que planteas. Ahora lo arreglo.

Gracias de nuevo.