Autor Tema: Relaciones clausurables

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06 Agosto, 2017, 12:06 pm
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geómetracat

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Hola,

Me estoy leyendo el libro de teoría de conjuntos de Carlos Ivorra, y me he encontrado en la sección 3.1 con que se habla de relación clausurable, que si no me equivoco no se ha definido antes en el libro. ¿Alguien me puede dar la definición?

Saludos y gracias.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Agosto, 2017, 12:26 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Hola.

Me temo que ha habido un error de copia-pega (mejor dicho, de copia-pega mental: estuve simplificando la sección de relaciones bien fundadas de mi libro de lógica para el caso de NBG y en ocasiones conservé la palabra "clausurable", que aquí resulta trivial). Enseguida lo corregiré.

En efecto, la definición de relación clausurable la tienes en mi libro de lógica (definición 11.31): Una relación \( R \) en \( A \) es clausurable si para todo \( x\in A \) la clase \( A^R_x \) de todos los anteriores a \( x \) está contenida en un conjunto \( R \)-transitivo, lo cual permite definir la clausura de \( x \) en \( A \) como la intersección de todos los conjuntos \( R \)-transitivos que cumplen esto.

Además, en el teorema 3.2 sólo hace falta si se define una relación bien fundada en una clase como una relación en la que todo subconjunto no vacío tiene minimal. Si se define como que toda subclase no vacía tiene minimal, no hace falta.


En definitiva, el concepto tiene interés cuando se quiere hablar de inducción y recursión transfinita en teorías débiles, como Kripke-Platek, pero es trivial en el contexto de una teoría fuerte, como NBG.

La palabra sólo aparece dos veces más, y en ambos casos se pueden cambiar por "conjuntista".

Gracias por el aviso.

06 Agosto, 2017, 01:04 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Muchas gracias por la respuesta.

Entiendo entonces que en general el que una relación sea clausurable implica que sea conjuntista, y que en NBG tenemos el recíproco porque \( A^R_x \subseteq cl^R_A(x) \) y esto último es un conjunto. ¿Es así?

Por otro lado, enhorabuena por el libro, me está resultando muy interesante. Conforme voy leyendo estoy recopilando una lista de erratas que voy encontrando, ya te la pasaré cuando haya leído suficiente.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Agosto, 2017, 01:15 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Entiendo entonces que en general el que una relación sea clausurable implica que sea conjuntista, y que en NBG tenemos el recíproco porque \( A^R_x \subseteq cl^R_A(x) \) y esto último es un conjunto. ¿Es así?

Correcto. La definición 3.5 de clausura transitiva se apoya en la existencia del ordinal \( \omega \), que es equivalente al axioma de infinitud. Sin el axioma de infinitud, ser clausurable es más fuerte que ser conjuntista, pero con dicho axioma ambos conceptos son equivalentes.

Incluso en el contexto de NBG, cabe señalar que definir una relación bien fundada como una relación en la que toda subclase no vacía tiene minimal tiene el inconveniente de que, así tal cual, eso no es expresable en ZF, pues en ZF no puede formalizarse lo de "toda subclase". Por ello es razonable definir las relaciones bien fundadas como relaciones en las que todo subconjunto no vacío tiene minimal, y entonces el teorema de inducción transfinita requiere la hipótesis de que la relación sea conjuntista, pero, por otra parte, en el caso de una relación conjuntista sucede que toda subclase no vacía tiene un minimal.

En resumen, puestos a trabajar con relaciones conjuntistas, es indiferente definir el concepto de relación bien fundada con subclases o con subconjuntos. Yo he seguido la política de evitar tecnicismos en lo posible (los tecnicmismos están en mi libro de lógica) y por eso doy la definición con subclases.

Por otro lado, enhorabuena por el libro, me está resultando muy interesante. Conforme voy leyendo estoy recopilando una lista de erratas que voy encontrando, ya te la pasaré cuando haya leído suficiente.

Te lo agradezco. Como me dijo un lector: Las erratas son siempre las últimas en abandonar el barco.