Autor Tema: Clasificación general de las diversas geometrías.

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02 Junio, 2016, 10:34 pm
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zhazzu

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Como muchos sabréis en este foro, existen muchos y diversos tipos de geometría. Estoy bastante confundido en cuanto a la clasificación de cada una de estas geometrías.

Agradecería si alguien pudiera orientarme y explicarme de forma rápida la evolución histórica y cómo se clasifican las diferentes geometrías existentes...


Es decir, ¿qué esquema mental tenéis cada uno de la geometría en general?
Gracias!

03 Junio, 2016, 08:56 am
Respuesta #1

geómetracat

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Buf, vaya preguntita. Esto da para páginas y páginas, pero intentaré dar una respuesta sobre mi visión de la geometría moderna. Mi visión es que hoy en día geometría significa algo demasiado amplio como para admitir alguna clasificación. Más bien es una red densa de diversos campos (o diversas "geometrías") con muchas interrelaciones entre sí. De hecho se ha llegado a tal punto que es muy difícil que un matemático (incluso un geómetra) haya oído hablar de todos los tipos de "geometría" que hay.

Históricamente, durante siglos y siglos la única geometría que hubo fue esencialmente la de Euclides, geometría axiomática plana y espacial. Luego empezaron a aparecer otros tipos de geometría (esférica, hiperbólica como consecuencia de los intentos de aclarar el quinto postulado de Euclides, proyectiva,...) y la introducción de métodos algebraicos en el estudio de la geometría vía la introducción de coordenadas (Descartes). Este hilo seguramente culmina a finales del siglo XIX con el programa Erlangen de Klein, que pone la geometría proyectiva como centro y clasifica las diferentes geometrías según sus grupos de transformaciones, así según Klein, las geometrías corresponderían a subgrupos del grupo de proyectividades.

Paralelamente a estos desarrollos tienes a Gauss que inició el estudio de superfícies usando geometría diferencial y a Riemann que lo continuó introduciendo lo que después sería el concepto de geometría riemanniana (y en particular, la geometría en espacios de dimensión arbitraria). Por esta línea en el siglo XX llega la explosión: geometría diferencial entendida como el estudio de variedades diferenciables equipadas con estructura extra. Como "geometrías" en ese sentido tienes: riemanniana, simpléctica, de contacto, Kähler, Poisson, etc.

Por otro lado, de la geometría proyectiva y ciertos aspectos de variable compleja (superfícies de Riemann) apareció la geometría algebraica: primero como estudio de curvas y superfícies algebraicas (definidas por ceros de polinomios), después como variedades algebraicas, volviéndose más abstracta con la infusión de métodos algebraicos y culminando con la introducción del concepto de esquema por Grothendieck.

En fin, supongo que con esto basta para hacerse una idea de lo enorme que es la geometría hoy en día. Y me dejo infinidad de cosas importantísimas: geometría métrica (espacios hiperbólicos a la Gromov, etc), geometría discreta, geometría integral, topología (que da para un mensaje como este de largo por sí sola),...

Al final la moraleja es que esto de la geometría, partiendo básicamente de Euclides sufrió diversos desarrollos en paralelo que han acabado llevando a sitios muy diversos. Por supuesto, también se han ido estableciendo puentes entre geometrías distintas, a veces inesperados. Por decir algo, la geometría Kahler (diferencial) está estrechamente relacionada con lo la geometría algebraica compleja.

Espero que esto te ayude a hacerte una pequeña idea de lo que hay.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Junio, 2016, 11:13 am
Respuesta #2

zhazzu

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Agradezco la respuesta. Muy interesante y me ha ayudado en algo a la hora de hacerme una mejor idea de lo que es la geometría.

Por otra parte, mi nivel no es tan alto como el tuyo y aun hay ciertos temas de la explicación que se me escapan. Estudio 1º año del grado de matemáticas y me interesa mucho la geometría.

En cierta manera, me gustaría también entender y saber clasificar lo que he visto hasta ahora. Es decir, alguien podría ayudarme a clasificar (aunque sea de forma intuitiva) los siguientes temas:
-Geometría 2D, Geometría 3D,Planimetria,Estereometria, Geometría Moderna, Geometría Clasica (he oído hablar de ella pero no se muy bien lo que engloba),Trigonometría circular, Trigonometría esférica, Geometría euclidea, Geometrías no euclideas (hiperbólica, elíptica,... hay mas?), Geometría esférica, Geometría analítica, Geometría Afin, Geometría métrica, Geometría Diferencial, Geometría absoluta.

Son el tipo de geometría que mas me suenan y hasta ahora me conformaría con saber (aunque sea de forma intuitiva) como clasificarlas.


Gracias!

06 Junio, 2016, 12:04 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Agradezco la respuesta. Muy interesante y me ha ayudado en algo a la hora de hacerme una mejor idea de lo que es la geometría.

Por otra parte, mi nivel no es tan alto como el tuyo y aun hay ciertos temas de la explicación que se me escapan. Estudio 1º año del grado de matemáticas y me interesa mucho la geometría.

Genial, hacen falta más geómetras, que somos poquitos. Tú sigue con la geometría y no te dejes enredar por los algebristas, analistas y demás fauna.  ;D

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En cierta manera, me gustaría también entender y saber clasificar lo que he visto hasta ahora. Es decir, alguien podría ayudarme a clasificar (aunque sea de forma intuitiva) los siguientes temas:
-Geometría 2D, Geometría 3D,Planimetria,Estereometria, Geometría Clasica (he oído hablar de ella pero no se muy bien lo que engloba),Trigonometría circular, Trigonometría esférica, Geometría euclidea, Geometrías no euclideas (hiperbólica, elíptica,... hay mas?), Geometría esférica, Geometría analítica, Geometría Afin, Geometría métrica, Geometría Diferencial, Geometría absoluta.

Son el tipo de geometría que mas me suenan y hasta ahora me conformaría con saber (aunque sea de forma intuitiva) como clasificarlas.


Gracias!

Ahora la pregunta está más acotada. Intentaré "clasificar" todo lo que pones en tu lista.

Primero, "geometría 2D" y "geometría 3D" sin más especificaciones no significa nada. Para cada geometría (afín, hiperbólica, esférica, euclídea,...) hay versiones 2D, 3D, 4D,... y n-dimensionales en general. Si te encuentras esos nombres así sin más, lo más normal es que se refieran a geometría euclídea.

Sobre planimetría y estereometría más de lo mismo, aunque no son nombres que yo recuerde haber oído en un contexto matemático. Normalmente se refieren a "geometría euclídea plana (2D)" y "geometría euclídea espacial (3D)".

Para lo demás, déjame hacer una digresión primero. Hay varios métodos para estudiar geometría. El más antiguo, introducido por los griegos, es empezar con una pequeña lista de axiomas (que pretenden ser "verdades evidentes") que es lo que pides que cumpla tu "espacio", tus "rectas", "planos", etc y a partir de ahí demostrar lógicamente todos los teoremas. Lo importante es que aquí "recta", "plano", etc es sólo un nombre, no tiene por qué coincidir con lo que todo el mundo entiende por recta. Este enfoque se suele llamar geometría sintética o geometria axiomática. El paradigma de esto son los Elementos de Euclides. Déjame ponerte los axiomas de Euclides, que son cinco:

1. Por cada par de puntos distintos pasa una recta.
2. Cada segmento de recta se puede extender a una recta.
3. Dado un punto \( P \) y un radio \( r \) existe un círculo de centro \( P \) y radio \( r \).
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos de manera que los ángulos interiores del mismo lado suman menos de dos ángulos rectos, entonces estas dos rectas se cortan en el lado en que los ángulos interiores suman menos de dos rectos.

Te dejo una imagen ilustrando el último axioma:



Estos axiomas han quedado superados hoy en día (tienen ciertos problemas), pero aún así los Elementos son un buen ejemplo de geometría sintética.
Bien, pues partiendo únicamente de estos cinco axiomas (y una serie de definiciones y nociones comunes), Euclides demuestra todos los teoremas típicos de geometría euclídea plana (sobre rectas, triángulos, polígonos y círculos). Pero supongo que ya te habrás dado cuenta de que el quinto axioma de Euclides es bastante más complicado que los cuatro anteriores. Así que la gente se preguntó si ese quinto axioma no podía demostrarse a partir de los cuatro anteriores. Pues bien, la respuesta (después de unos cuántos siglos) es que no. De todas formas, enseguida se vio que ese quinto axioma era equivalente al siguiente (llamado axioma de las paralelas):

5'. Dada una recta \( r \) y un punto \( P \) fuera de \( r \), existe una recta única paralela a \( r \) que pasa por \( P \).

La geometría que resulta de considerar únicamente los 4 primeros postulados de Euclides se llama "geometría absoluta". Así pues, la geometría euclídea es un caso particular de geometría absoluta (es geometría absoluta con un axioma extra). Además, se acabó viendo que si a la geometría absoluta le añades el siguiente axioma:

H. Dada una recta \( r \) y un punto \( P \) fuera de \( r \), existe más de una recta paralela a \( r \) que pasa por \( P \).

Obtienes la llamada geometría hiperbólica. Así pues, tanto la geometría euclídea como la hiperbólica son casos particulares de geometría absoluta, pero entre ellos no son comparables.

Por otro lado, ya desde antiguo se conocía la geometría esférica, que es la geometría que resulta de considerar que tu espacio (digamos plano) es una esfera y tus rectas son los círculos máximos de la esfera. Para esta geometría también se pueden dar una serie de axiomas y estudiarla desde un punto de vista sintético, pero no es comparable a la geometría absoluta (no cumple los 4 primeros axiomas de Euclides) y por tanto tampoco a la hiperbólica ni a la euclídea. Como puedes ver, en esta geometría no existen paralelas (cualquier par de "rectas" se cortan en dos puntos). La geometría elíptica es como la geometría esférica, pero identificas puntos antipodales de la esfera (así, cualquier par de "rectas" se corta en un punto). Es una modificación bastante conveniente para según qué propósitos.

Estas son las tres grandes geometrías "clásicas": euclídea, elíptica/esférica e hiperbólica.

Otro método de estudiar geometría (que se lleva mucho más hoy en día) es mediante la introducción de coordenadas y métodos algebraicos. A esto muchas veces se le llama geometría analítica (aunque en algunos contextos este término puede significar algo totalmente distinto: geometría compleja). Es el estilo de estudiar geometría que habrás visto en bachillerato: tus puntos en el plano son pares de reales \( (x,y) \), tus recta son conjuntos de puntos que satisfacen una cierta ecuación, etc. Puedes estudiar todas las geometrías que hemos visto antes (euclídea, hiperbólica y elíptica) de esta forma. Además es el punto de vista más adecuado para introducir la geometría afín (aunque también se puede introducir de forma sintética).

La geometría afín básicamente es la geometría que resulta de tomar un espacio vectorial y hacer que todos los puntos sean iguales, al contrario que en álgebra lineal, en que tienes un punto privilegiado (el origen). Sé que no es una definición muy precisa, pero basta para hacerse una idea. Entonces, los objetos y conceptos que estudia la geometría afín son los que no cambian bajo afinidades (esto es, transformaciones que preservan esta estructura afín). Para hacerte una idea, en geometría afín tiene sentido hablar de paralelismo de rectas, pero no de ángulos o longitudes, de la misma manera que en álgebra lineal tiene sentido decir que un vector sea múltiplo de otro, pero no que dos vectores son ortogonales (si no tienes un producto escalar). Desde este punto de vista, se puede recuperar la geometría euclídea como el estudio de geometría afín cuando al espacio vectorial le añades un producto escalar (y consideras conceptos y objetos invariantes bajo transformaciones que respeten ese producto escalar). Es decir, tomas tu espacio afín y lo equipas con una forma de medir longitudes y ángulos. La geometría que encuentras así es la misma que la geometría euclídea del principio, obtenida a partir de axiomas. Así, puedes ver la geometría euclídea como una subgeometría de la afín.

Aunque no la hayas incluído en la lista, déjame decirte que también tienes la geometría proyectiva. Esta es una geometría más general que la afín. La idea es que la geometría afín tiene un fallo: hay rectas que no se cortan nunca (paralelas). La geometría proyectiva solventa esto añadiendo a la geometría afín una recta extra (la recta del infinito) y diciendo que dos rectas afines paralelas se cortan en un punto del infinito. Además de ser importante por sí misma, la importancia es que puedes ver a las geometrías afín, euclídea, hiperbólica y elíptica como subgeometrías de la geometría proyectiva. De ahí que Klein dijera de ella que es la reina de las geometrías.

La trigonometría en general es el estudio de triángulos. Trigonometría circular es el estudio de triángulos euclídeos, la trigonometría esférica es el estudio de los triángulos de la geometría esférica, y la trigonometría hiperbólica de los de la geometría hiperbólica.

Geometría métrica puede referirse a distintas cosas: a veces se usa como sinónimo de euclídea, a veces como cualquier geometría donde haya una noción de distancia (por ejemplo, la afín no sería una geometría métrica).

Geometría diferencial es el estudio de la geometría usando métodos diferenciales (análisis: derivadas, integrales, etc). Todas las geometrías de las que te he hablado se pueden ver desde la óptica de la geometría diferencial. Pero incluye muchas más cosas, por ejemplo, geometría sobre una superfície cualquiera.

Por geometrías no euclídeas, yo diría que la mayoría de gente se refiere a la hiperbólica y a la elíptica, pero algunos incluyen más cosas, como geometría en superfícies (o cosas más generales como variedades) curvadas, etc.

Creo que lo único que me queda es geometría clásica. Es un nombre muy ambiguo que puede querer decir muchas cosas, no está muy definido. Para algunos será sinónimo de geometría euclídea, para otros de geometría sintética,...

En fin, espero que esto contribuya a aclararte un poco más en la jungla que es la geometría.

Por cierto, para estudiarte bien todo esto, tienes el libro de Geometría de Carlos Ivorra que creo que está bastante bien y trata en detalle todos los temas que te he explicado aquí.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Julio, 2016, 08:28 pm
Respuesta #4

zhazzu

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Tengo algunas preguntas mas:

1- Que tipos de geometrias se entienden/clasifican como geometrias modernas ?

2- He estado mirando varios libros de 'Geometria Clasica' de mi nivel en la biblioteca [Geometry Revisited(H.S.M. Coxeter), Classical Geometry:Euclidean,Transformational, Inversive, and Projective (Creo que es un libro muy bien escrito. Alguien que sepa del tema puede confirmarlo? Podria confirmarme que realmente los temas estan bien interrelacionados y son adecuados para progresar bien en el estudio de la geometria?),....] y muchos temarios coinciden en esto:
    * Geometria Euclidea: Congruencia, Concurrencia, Similaridad, Areas, Teoremas (Ceva, Menelao, Morley.....)
    * Geometria Transformacional: Isometrias, Algebra de Isometrias, Simetria y grupos, Homotecias,Teselacion
    * Inversive Geometry: Introduction, Reciprocation and the extended plane, cross ratios
    * Geometria Proyectiva: Introduccion.
    Mi pregunta es, ¿porque los libros de geometrica clásica incluyen estas 3 últimas geometrias junto a la euclidea?
    ¿Tienen algo que ver? ¿Que explicacion podriais darme ante esta estructura/organizacion que ofrecen los libros de 
    geometria clasica? ¿Porque en este tipo de libros con este temario solo se habla de Geometria plana y no de Geometria
    solida? Hay alguna razon?

3- En cuanto a los enfoques desde los cuales podemos estudiar la geometria, segun las explicaciones que me disteis anteriormente, existen el enfoque 'axiomatico/sintetico' y el 'analitico/cartesiano/con coordenadas'.
He estado buscando informacion sobre esto y he visto que el tema es mas complejo de lo que parece.

Ojeando varios libros he encontrado uno bastante interesante en el cual se exponen los '4 pilares de la geometria': ''The four pillars of geometry'' (John Stillwell)

Se exponen los siguiente pilares o formas de desarrollar la geometria:
  * desde un estilo axiomatico (construcciones con regla y compas, axiomas y teoremas)
  * desde el algebra lineal  (coordenadas, espacios vectoriales y producto escalar)
  * desde la geometria proyectiva  (perspectiva, axiomas, planos proyectivos)
  * desde grupos de transformaciones (para distinguir mejor las diferentes geometrias): (ejemplos de
               transformaciones, construccion del plano hiperbolico desde las transformaciones de la linea proyectiva real.)
Mi duda aqui es; ¿Que tipo de geometrias clasificamos dentro de cada 'pilar' ?


Luego, en la wikipedia he encontrado la siguiente clasificación:
* Geometria segun el tipo de espacio:
         -Geo. Absoluta
         -Geo. Euclidea
         -Geo. Clasica: Recopilación de resultados para las geometrias euclideas (Esto significa que geo.euclidea=geo.clasica?)
         -Geo. no euclidea: eliptica, esferica, finita, hiperbolica, riemanniana
*Geometrias asociadas a transformaciones:
         -Geo. afín
         -Geo. conforme
         -Geo. convexa
         -Geo. discreta
         -Geo. de incidencia
         -Geo. ordenada
         -Geo. proyectiva
*Geometrias segun el tipo de representacion:
         -Geo. sintética
         -Geo. analítica
         -Geo. algebraica
         -Geo. descriptiva
         -Topologia geométrica (porque se clasifica esta rama de la topologia dentro de la geometria?)
         -Geo. diferencial: geo.dif.discreta, geo de curvas y superficies, geo.dif.de hipersuperficies, geo.dif. de 
                                           variedades, geo. de Riemann.
         -Geo. Fractal
*Alguien sugiere mas enfoques?


Finalmente, la gran pregunta aqui es: ¿Podria alguien darme una explicacion general y aclaratoria que me haga entender los enfoques del libro 'The four pillars of geometry' y los enfoques de la wikipedia en conjunto ? Es decir, no se si me explico, busco una explicación general de los enfoques ya que aparentemente no se ver la relacion que tienen los enfoques del libro con los de la wikipedia.


Gracias!

02 Septiembre, 2016, 11:22 am
Respuesta #5

zhazzu

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Alguien podría echarme una mano ?

02 Septiembre, 2016, 12:47 pm
Respuesta #6

geómetracat

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1- Que tipos de geometrias se entienden/clasifican como geometrias modernas ?

No hay una respuesta concreta o cerrada a esto, cada uno hace la distinción clásico/moderno como le parece. En general, se puede decir que las geometrías euclídea, esférica, hiperbólica, inversiva,... son clásicas (aunque habría mucho que matizar, la geometría hiperbólica clásica está muy viva todavía, hay cantidad de gente que se dedica a estudiar ciertos aspectos de ella). La geometría proyectiva también se suele considerar clásica. Toda la geometría que involucra geometría diferencial se suele considerar moderna, igual que gran parte de la geometría algebraica, supongo que principalmente porque son campos muy activos de investigación. Pero como digo, no te obceques en la distinción clásico/moderno, porque en muchos casos no está nada clara la frontera.

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2- He estado mirando varios libros de 'Geometria Clasica' de mi nivel en la biblioteca [Geometry Revisited(H.S.M. Coxeter), Classical Geometry:Euclidean,Transformational, Inversive, and Projective (Creo que es un libro muy bien escrito. Alguien que sepa del tema puede confirmarlo? Podria confirmarme que realmente los temas estan bien interrelacionados y son adecuados para progresar bien en el estudio de la geometria?),....] y muchos temarios coinciden en esto:
    * Geometria Euclidea: Congruencia, Concurrencia, Similaridad, Areas, Teoremas (Ceva, Menelao, Morley.....)
    * Geometria Transformacional: Isometrias, Algebra de Isometrias, Simetria y grupos, Homotecias,Teselacion
    * Inversive Geometry: Introduction, Reciprocation and the extended plane, cross ratios
    * Geometria Proyectiva: Introduccion.
    Mi pregunta es, ¿porque los libros de geometrica clásica incluyen estas 3 últimas geometrias junto a la euclidea?
    ¿Tienen algo que ver? ¿Que explicacion podriais darme ante esta estructura/organizacion que ofrecen los libros de 
    geometria clasica? ¿Porque en este tipo de libros con este temario solo se habla de Geometria plana y no de Geometria
    solida? Hay alguna razon?

Cualquier libro de Coxeter es bueno e interesante. El otro libro no lo conocía pero se ve bastante bien. La geometría "transformacional" no es ninguna geometría per se, es un punto de vista para estudiar diversas geometrías clásicas, como la euclídea. La inversiva es una geometría importante estrechamente relacionada con muchas cosas importantes, como la geometría hiperbólica o la línea proyectiva compleja. La geometría proyectiva es muy importante porque en cierta manera contiene a las otras grandes geometrías clásicas: euclídea, hiperbólica y esférica. Además de eso, la puedes ver como una completación de la geometría afín, donde todo es mucho más simétrico y permite entender mucho mejor ciertos aspectos clásicos (por ejemplo, las cónicas). Sobre por qué se habla de geometría plana y no sólida... pues depende del libro, hay muchos que hablan de geometría sólida. De todas maneras, el motivo sea probablemente que estos libros usan un enfoque axiomático, con el que la geometría sólida se vuelve más complicada. Por otro lado, si usas un enfoque con coordenadas, no hay mucha diferencia entre plana, sólida o en cualquier dimensión.

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3- En cuanto a los enfoques desde los cuales podemos estudiar la geometria, segun las explicaciones que me disteis anteriormente, existen el enfoque 'axiomatico/sintetico' y el 'analitico/cartesiano/con coordenadas'.
He estado buscando informacion sobre esto y he visto que el tema es mas complejo de lo que parece.

Ojeando varios libros he encontrado uno bastante interesante en el cual se exponen los '4 pilares de la geometria': ''The four pillars of geometry'' (John Stillwell)

Se exponen los siguiente pilares o formas de desarrollar la geometria:
  * desde un estilo axiomatico (construcciones con regla y compas, axiomas y teoremas)
  * desde el algebra lineal  (coordenadas, espacios vectoriales y producto escalar)
  * desde la geometria proyectiva  (perspectiva, axiomas, planos proyectivos)
  * desde grupos de transformaciones (para distinguir mejor las diferentes geometrias): (ejemplos de
               transformaciones, construccion del plano hiperbolico desde las transformaciones de la linea proyectiva real.)
Mi duda aqui es; ¿Que tipo de geometrias clasificamos dentro de cada 'pilar' ?

Lo mismo de antes, cada autor dice lo que le parece, y seguro que otros difieren de "pilares". De todas maneras, eso son más maneras de estudiar geometrías que geometrías en sí. Tú puedes estudiar la geometría euclídea axiomáticamente, algebraicamente, desde la geometría proyectiva, estudiar su grupo de isometrías, etc. Y lo mismo con la esférica, la hiperbólica, etc.

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Luego, en la wikipedia he encontrado la siguiente clasificación:
* Geometria segun el tipo de espacio:
         -Geo. Absoluta
         -Geo. Euclidea
         -Geo. Clasica: Recopilación de resultados para las geometrias euclideas (Esto significa que geo.euclidea=geo.clasica?)
         -Geo. no euclidea: eliptica, esferica, finita, hiperbolica, riemanniana
*Geometrias asociadas a transformaciones:
         -Geo. afín
         -Geo. conforme
         -Geo. convexa
         -Geo. discreta
         -Geo. de incidencia
         -Geo. ordenada
         -Geo. proyectiva
*Geometrias segun el tipo de representacion:
         -Geo. sintética
         -Geo. analítica
         -Geo. algebraica
         -Geo. descriptiva
         -Topologia geométrica (porque se clasifica esta rama de la topologia dentro de la geometria?)
         -Geo. diferencial: geo.dif.discreta, geo de curvas y superficies, geo.dif.de hipersuperficies, geo.dif. de 
                                           variedades, geo. de Riemann.
         -Geo. Fractal
*Alguien sugiere mas enfoques?


Finalmente, la gran pregunta aqui es: ¿Podria alguien darme una explicacion general y aclaratoria que me haga entender los enfoques del libro 'The four pillars of geometry' y los enfoques de la wikipedia en conjunto ? Es decir, no se si me explico, busco una explicación general de los enfoques ya que aparentemente no se ver la relacion que tienen los enfoques del libro con los de la wikipedia.

Lo mismo de antes te digo, no hay una respuesta cerrada. La palabra geometría comprende demasiadas cosas muy dispares y no hay ni una clasificación monolítica e invariable establecida, ni una relación de orden (ni siquiera parcial) clara entre las distintas ramas de la geometría. Eso hace que cada uno "clasifique" las múltiples áreas de la geometría como le parezca. En fin, estudia geometría, pero no te obsesiones más de la cuenta con divisiones artificiales. Si estudias geometría "moderna", verás que la cosa es mucho peor, ahí ya no es que no estén claras las divisiones entre subramas de geometría, sino que no están claras las fronteras con otras ramas de la matemática. Por ejemplo, es muy común estar estudiando o investigando en algo y preguntarse "¿estoy haciendo geometría o análisis?", "¿estoy haciendo geometría o álgebra?", "¿estoy haciendo geometría o teoría de números?".
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)