[Jorwin]

Ayúdenme a demostrar el siguiente enunciado, por favor:

\begin{matrix}\mathrm{S} \mathrm{i} \  f\  \mathrm{e} \mathrm{s} \  \mathrm{c} \mathrm{o} \mathrm{n} \mathrm{t} \mathrm{i} \mathrm{n} \mathrm{u} \mathrm{a} \  \mathrm{e} \mathrm{n} \  U\  \mathrm{y} \  \int^{b}_{a} f\left( x\right)  dx=0\\ \forall \left[ a,b\right]  \subset U\  \mathrm{e} \mathrm{n} \mathrm{t} \mathrm{o} \mathrm{n} \mathrm{c} \mathrm{e} \mathrm{s} \  f\left( x\right)  =0\  \forall x\in U\end{matrix}

Mensaje de la moderación: se ha cambiado el título por uno más informativo y añadido el título anterior dentro del texto para mejorar la claridad del enunciado.

[delmar]

Hola Jorwin

Bienvenido al foro

Es conveniente mostrar lo que has hecho por resolver el problema. Se puede demostrar por reducción al absurdo. considera que existe algún punto \( c\in{U} \ / f(c)\neq 0 \) esto implica existe un entorno de c en el cual \( f(x) \) tiene el mismo signo que \( f(c) \) esto implica que el integral será diferente de cero, se llega a un absurdo, verifica.


Saludos

[Jorwin]

Intentaría demostrarlo, pero sinceramente no sé como hacerlo. Soy de una ingeniería, no soy de matemáticas. Quiero utilizar la demostración para sustentar el uso del enunciado. :’(

[delmar]

Soy Ingeniero también; pero me encanta las matemáticas. Voy ayudarte un poco más, si \( \exists{c}\in{U} \ / \ f(c)\neq 0\Rightarrow{A)f(c)>0\vee B) f(c)<0} \) el teorema de conservación de signo implica que existe un entorno de c tal que la función conserva el signo de f(c). Consideremos la alternativa A) f(c)>0 entonces  \( \exists{[c-\epsilon,c+\epsilon]} \) donde \( \epsilon>0 \), tal que si \( x\in{[c-\epsilon,c+\epsilon]}\Rightarrow{f(x)>0} \). Ahora se considera \( \displaystyle\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(x)dx=0 \)   R1, por el enunciado. Pero por otro lado \( f(x)>0, \ \ si \ \ c-\epsilon\leq{x}\leq{c+\epsilon}\Rightarrow{\displaystyle\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(x)dx>\displaystyle\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}0 \ dx}\Rightarrow{\displaystyle\int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}f(x)dx>0} \)  R2 contrario a R1 absurdo entonces se concluye ....Para completar la demostración hazlo como práctica la alternativa B).

Saludos

[Masacroso]

Ojo, el teorema sólo es cierto para \( U \) abierto, en otros casos no tiene por qué cumplirse. Por ejemplo si \( U=\{0\} \) y \( f(x)=1 \) para todo \( x\in \mathbb{R} \), entonces \( f \) es continua y \( \int_{a}^b f(x)\,d x=0 \) para todo \( [a,b]\subset U \) (ya que \( [a,b]=\{0\} \)).

Aparte de ese detalle otra forma, aparte de la dicha por delmar, sería usando la definición de continuidad en un punto de \( f \): supongamos que existe \( x_0\in U \) tal que \( f(x_0)=c> 0 \). Entonces dado cualquier \( \epsilon >0 \) existe un \( \delta >0 \) tal que si \( |x-x_0|<\delta  \) entonces \( |f(x)-c|<\epsilon  \).

Entonces tomando \( \epsilon =c/2 \) existe un \( \delta >0 \) que cumple con lo anterior, y como \( U \) es abierto entonces existe otro \( \delta '>0 \) tal que \( (x_0-\delta ',x_0+\delta ')\subset U \), por tanto tomando \( \delta '':=\tfrac1{2}\min\{ \delta ,\delta ' \} \) tenemos que \( [x_0-\delta '',x_0+\delta '']\subset U \) y si \( x\in[x_0-\delta '',x_0+\delta ''] \) entonces \( |f(x)-c|<c/2 \), lo que implica que \( c-f(x)<c/2 \) que equivale a decir que \( f(x)>c/2 \). Por tanto tenemos que \( \int_{x_0-\delta ''}^{x_0+\delta ''}f(x)\,d x\geqslant \int_{x_0-\delta ''}^{x_0+\delta ''}c/2\,d x=\delta ''c>0 \). Y una demostración similar para el caso en el que \( f(x_0)<0 \) (basta tomar \( -f \) en vez de \( f \) y aplicar la demostración dada).∎

Añadido: otra demostración menos laboriosa y directa sería utilizar el teorema fundamental del cálculo. Sea \( f \) continua en \( U \) y \( U \) abierto, entonces para cada \( x_0\in U \) tenemos que \( F(x):=\int_{x_0}^x f(t)\,d t \) es una primitiva de \( f \) en un entorno de \( x_0 \) de la forma \( (x_0-\delta ,x_0+\delta ) \) para algún \( \delta >0 \) (este \( \delta >0 \) existe precisamente porque \( U \) es abierto), pero de ahí tenemos que \( F(x)=0 \) para todo \( x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta ) \), y por tanto \( f(x)=F'(x)=0 \) para todo \( x\in(x_0-\delta ,x_0+\delta ) \), y en particular \( f(x_0)=0 \). Como eso se cumple para cualquier \( x_0\in U \) que tomemos entonces \( f\equiv 0 \).∎