[Taniadiaz]

Encontrar los puntos de intersección de la recta \(  0 = Re \{ (1+4i)z+2-3i  \} \) con la circunferencia

\(  | z-6|= \frac{1}{√3} |z+2i| \)

¿Me pueden detallar el procedimiento para este ejercicio?

[manooooh]

Hola

Encontrar los puntos de intersección de la recta \(  0 = Re { (1+4i)z+2-3i  } \) con la circunferencia

\(  | z-6|= \frac{1}{√3} |z+2i| \)

Revisa las ecuaciones porque \(  0 = Re { (1+4i)z+2-3i  } \) no es la ecuación de una recta. Si llamas \( z=a+bi \) tienes que \( \Re(1+4i)=1 \) luego \( a+bi+2-3i=0\implies(a+2)+(b-3)i=0+0i\implies a=-2,b=3 \) luego el complejo es \( z=-2+3i \). Pero si lo reemplazamos en la segunda ecuación:

\begin{align*}
|z-6|&\overset{?}{=}\frac{1}{\sqrt{3}}|z+2i|\\
\sqrt{(a-6)^2+b^2}&\overset{?}{=}\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+(b+2)^2}\qquad\text{Como \(z=-2+3i\)}\implies\\
\sqrt{(-2-6)^2+3^2}&\overset{?}{=}\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(-2)^2+(3+2)^2}\\
\sqrt{73}&\neq\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{29}.
\end{align*}

Luego los puntos de intersección es el conjunto vacío. Revisa.

Saludos

Mods

Sugiero mover el hilo al subforo Números complejos.

[cerrar]

[Taniadiaz]

Hola,    muchas gracias por responder. Te adjunto la imagen del ejercicio. Tal cual como aparece en el cuestionario de práctica

[Juan Pablo Sancho]

Pero el ejercicio pone:
\( Re\{(1+4i) \cdot z +2-3i\}  \) que no es lo mismo que \( Re(1+4i) \cdot z +2-3i  \)

[ingmarov]

Hola Taniadiaz

Encontrar los puntos de intersección de la recta \(  0 = Re \{ (1+4i)z+2-3i  \} \) con la circunferencia

\(  | z-6|= \frac{1}{√3} |z+2i| \)

¿Me pueden detallar el procedimiento para este ejercicio?

Para poner llaves en las fórmulas LaTeX deber hacerlo así \{   o   \}


Revisa esto

Si \( z=a+bi \)

la recta es:  \[ b=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2} \]

y la circunferencia es :  \[ (a-9)^2+(b-1)^2=60 \]


Saludos

[Taniadiaz]

Amigos agradezco su apoyo en este ejercicio.   :'(  no he logrado resolverlo. Está muy complicado. Es para pasar a la pizarra mañana. Por favor ayúdenme a resolver detallando el procedimiento. De verdad lo veo fuerte.

[ingmarov]

Hola

Amigos agradezco su apoyo en este ejercicio.   :'(  no he logrado resolverlo. Está muy complicado. Es para pasar a la pizarra mañana. Por favor ayúdenme a resolver detallando el procedimiento. De verdad lo veo fuerte.

¿Qué parte es complicada? ¿Has intentado llegar a alguna de las ecuaciones a que llegué?

Es necesario que escribas lo que has intentado, queremos ayudar de verdad pero no aprenderás nada si te lo resolvemos todo.

Para encontrar la expresión para la recta lo hice así,

Definimos   \[ z=a+bi \], entonces sustituyendo

\[ 0 = Re \{ (1+4i){\color{blue}z}+2-3i  \}=Re \{ (1+4i){\color{blue}(a+bi)}+2-3i  \}=Re \{ (2+a-4b)+(-3+4a+b){\bf i} \}=\\ \bf =2+a-4b=0 \]

\[ \Rightarrow\qquad \boxed{b=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}} \]

Para la circunferencia haces lo mismo, planteas \[ z=a+bi \], sustituyes a ambos lados de la ecuación, luego elevas al cuadrado a ambos lados de la ecuación y simplificas. Para llegar a la expresión que he anotado haces completación de cuadrados.


Para terminar puedes sustituir la "b", encontrada en la ecuación de la recta, en la ecuación de la circunferencia y luego resolver la ecuación que te quedará en función de "a".


Saludos

[Taniadiaz]

Querido ingmarov. La verdad no entiendo para nada el ejercicio. Por eso suplico que me detallen todo el proceso para resolverlo. He acudido a otras personas para que me ayuden y su respuesta ha sido. Que esto está demasiado complicado. Ustedes son las únicas personas que pueden ayudarme por favor

[ingmarov]

Querido ingmarov. La verdad no entiendo para nada el ejercicio. Por eso suplico que me detallen todo el proceso para resolverlo. He acudido a otras personas para que me ayuden y su respuesta ha sido. Que esto está demasiado complicado. Ustedes son las únicas personas que pueden ayudarme por favor

No es difícil y no entiendo por qué no nos dices qué parte no entiendes.

Ya te dije cómo obtener la circunferencia, tomaré las ecuaciones que había puesto antes y termino.

Hola Taniadiaz

Encontrar los puntos de intersección de la recta \(  0 = Re \{ (1+4i)z+2-3i  \} \) con la circunferencia

\(  | z-6|= \frac{1}{√3} |z+2i| \)

¿Me pueden detallar el procedimiento para este ejercicio?

...
Si \( z=a+bi \)

la recta es:  \[ b=\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2} \]

y la circunferencia es :  \[ (a-9)^2+(b-1)^2=60 \]
...

Sustituímos la recta en la circunferencia

\[ (a-9)^2+(b-1)^2=(a-9)^2+\left(\left(\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}\right)-1\right)^2=(a-9)^2+\left(\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}\right)^2=a^2-18a+81+\dfrac{1}{16}a^2-\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{16}a^2-\dfrac{73}{4}+\dfrac{325}{4}=\bf 60 \]

\[ \Rightarrow\qquad \dfrac{17}{16}a^2-\dfrac{73}{4}+\dfrac{325}{4}-60=\boxed{\dfrac{17}{16}a^2-\dfrac{73}{4}a+\dfrac{85}{4}=0} \]

Y esta última ecuación se resuelve usando la fórmula cuadrática, se obtienen las siguientes dos soluciones:

\[ a_1=\dfrac{146}{17}-\dfrac{4\sqrt{971}}{17}\approx 1.256265199 \]

\[ a_2=\dfrac{146}{17}+\dfrac{4\sqrt{971}}{17}\approx 15.92020538 \]

Falta que calcules b, para esto sustituyes cada uno de estos valores de a. Obtendrás los dos puntos (a,b) en que la recta corta la circunferencia.


Saludos

[Taniadiaz]

En qué parte sustituyo? Espero no molestarte por favor! :'(
Será así ?

\(  b = \frac{1}{4} ( 1,25) + \frac{1}{2} = 0,8125 \)



\(  b = \frac{1}{4} ( 15,92) + \frac{1}{2} =4,48  \) ? Por favor. Tengo el presentimiento de que lo que acabo de hacer es una locura.
Esto se puede gráficar? Cómo quedaría la gráfica.? De ser posible