Autor Tema: Integrabilidad Riemann: continua con finitas discontinuidades evitables

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14 Abril, 2021, 01:00 pm
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carambola

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Probar por inducción, sin utilizar  la caracterización de Lebesgue que:

Si una función acotada en $$[a, b]$$ es continua excepto en una cantidad finita de discontinuidades de primera especie, luego $$f$$ es integrable Riemann.

Gracias

16 Abril, 2021, 05:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si una función acotada en $$[a, b]$$ es continua excepto en una cantidad finita de discontinuidades de primera especie, luego $$f$$ es integrable Riemann.

Primero prueba (si no te lo han demostrado ya) que una función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann integrable.

Después puedes probar el resultado que te piden por inducción en el número \( n \) de discontinuidades.

- Para \( n=0 \) es cierto.

- Supón cierto para \( k\geq n-1 \) discontinuidades y pruébalo para \( n \). Para ello tenemos que probar que dado \( \epsilon>0 \) existe una partición tal que las sumas superior e inferior asociadas difieren en menos de \( \epsilon \).

 Ahora sea \( c\in [a,b] \) una discontinuidad y sea \( M \) tal que \( |f(x)|<M \) para \( x\in [a,b] \).

 Sea \( \delta \) tal que \( 4\delta M<\dfrac{\epsilon}{3} \).

 Ahora, si \( c-\delta>a \) la función en \( [a,c-\delta] \) es acotada con menos de \( n \) discontinuidades. Por hipótesis de inducción es Riemann integrable. Y así existe una partición \( P_1 \) de \( [a,c-\delta] \) tal que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/3 \). Si \( c-\delta\leq a \) tomamos \( P_1 \) vacía.

 Si \( c+\delta<b \) la función en \( [c+\delta,b] \) es acotada con menos de \( n \) discontinuidades. Por hipótesis de inducción es Riemann integrable. Y así existe una partición \( P_3 \) de \( [c+\delta,b] \) tal que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/3 \). Si \( c+\delta\geq b \) tomamos \( P_3 \) vacía.

 Finalmente consideramos la partición \( P_2 \) de \( [max(a,d-\delta),min(b,c+\delta)] \), formada únicamente por los extremos de ese intervalo. Es inmediato que la suma superior menos la inferior está acotada por \( 2\delta(M+M)<\dfrac{\epsilon}{3} \).

 Entonces tomando \( P_1\cup P_2\cup P_3 \) partición de \( [a,b] \) se verifica que la suma superior menos la suma inferior está acotada por \( \dfrac{\epsilon}{3}+ \dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}=\epsilon \).

Saludos.