Autor Tema: Demostrar \(\sum_{k=0}^{n-1}k^{n} < n^n\)

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06 Abril, 2021, 10:42 pm
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franma

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Buenas a todos,

Me encontré con el siguiente problema intentando hacer una demostración:
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}k^{n} < n^n \) con n natural.

Me gustaría saber si existe la posibilidad de que se demuestre por inducción (¿Por que inducción? Porque con el conocimiento que tengo actualmente es el único método que conozco para demostrar propiedades para todos los naturales a partir de uno dado.)
Cualquier información relacionada que me ayude a demostrar esto también es agradecido.

Que tengan un muy buen dia.
Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

06 Abril, 2021, 11:33 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas,
Creo que tengo "algo", aunque no es una demostración formal ni mucho menos por inducción pero creo que servirá para lo que estoy intentando demostrar con esto (ya que revisando de nuevo solo necesito probar que existe un n que lo cumpla o mas).
Es lo siguiente:
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}k^{n} < n^n \)

Lo podría escribir como:
\( 1+2^n+3^n+4^n+...+(n-1)^n < n^n \)
\( 1+2^n+3^n+4^n+...+(n-1)^n < n^{n-1}n \)
\( \displaystyle n(\frac{1^n}{n}+\frac{2^n}{n}+\frac{3^n}{n}+\frac{4^n}{n}+...+\frac{(n-1)^n}{n} ) < n^{n-1}n \)
\( \displaystyle \cancel{n}(\frac{1^n}{n}+\frac{2^n}{n}+\frac{3^n}{n}+\frac{4^n}{n}+...+\frac{(n-1)^n}{n} ) < n^{n-1}\cancel{n} \)
Por lo tanto siempre podre encontrar un n tal que se cumpla esa desigualdad, porque mientras n crece el lado derecho crece y el izquierdo decrece .
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

07 Abril, 2021, 12:02 am
Respuesta #2

mathtruco

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Hola franma. En general, cuando necesitas probar un resultado para todos los naturales el método a usar es inducción, así que vas bien encaminado. No veo que hayas demostrado algo con lo que escribiste, y seguro por eso es tu pregunta, porque no te convence.

La proposición sería:  \( p(n):\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \) para \( n\in S \).

- Primero, es fácil verificar que el resultado es válido para \( n=1 \), así que el conjunto solución tiene un primer elemento.

El conjunto donde buscas probar que la proposición es verdadera es el conjunto \( S=\{1,2,3,\dots\} \).

- Hipótesis de inducción: Suponemos que el resultado es cierto para \( n\in S \), esto quiere decir que suponemos que la siguiente desigualdad se cumple:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \).

- Tesis de inducción: queremos probar que \( n+1\in S \), esto es, queremos demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<(n+1)^{n+1} \).

Ahora comenzamos a demostrar:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n=n^n+\sum_{k=0}^{n-1}k^n \)

                  \( <n^n+n^n \)   (acá usamos la hipótesis de inducción que supusimos se cumple)

                  \( <2n^n \)

                  \( <(n+1)(n+1)^n \)    (porque \( n+1\geq 2 \)  y  \( n^n<(n+1)^n \))

                  \( =(n+1)^{n+1} \)

El único paso complicado es el penúltimo. Pero como habíamos llegado en el antepenúltimo a que \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<2n^n \) ,  sabíamos que debíamos probar que \( 2n^n<(n+1)^{n+1} \).

07 Abril, 2021, 12:18 am
Respuesta #3

franma

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Hola,

Hola franma. En general, cuando necesitas probar un resultado para todos los naturales el método a usar es inducción, así que vas bien encaminado. No veo que hayas demostrado algo con lo que escribiste, y seguro por eso es tu pregunta, porque no te convence.

La proposición sería:  \( p(n):\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \) para \( n\in S \).

- Primero, es fácil verificar que el resultado es válido para \( n=1 \), así que el conjunto solución tiene un primer elemento.

El conjunto donde buscas probar que la proposición es verdadera es el conjunto \( S=\{1,2,3,\dots\} \).

- Hipótesis de inducción: Suponemos que el resultado es cierto para \( n\in S \), esto quiere decir que suponemos que la siguiente desigualdad se cumple:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \).

- Tesis de inducción: queremos probar que \( n+1\in S \), esto es, queremos demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<(n+1)^{n+1} \).

Ahora comenzamos a demostrar:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n=n^n+\sum_{k=0}^{n-1}k^n \)

                  \( <n^n+n^n \)   (acá usamos la hipótesis de inducción que supusimos se cumple)

                  \( <2n^n \)

                  \( <(n+1)(n+1)^n \)    (porque \( n+1\geq 2 \)  y  \( n^n<(n+1)^n \))

                  \( =(n+1)^{n+1} \)

El único paso complicado es el penúltimo. Pero como habíamos llegado en el antepenúltimo a que \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<2n^n \) ,  sabíamos que debíamos probar que \( 2n^n<(n+1)^{n+1} \).

Nunca me imagine que podía salir de manera tan elegante y sencilla, muchísimas gracias por explicar todos los pasos de la demostración, probablemente me encuentre con una prueba similar para la siguiente parte de lo que debo demostrar así que esto me ayudara mucho.

Saludos,
Franco.
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07 Abril, 2021, 12:58 am
Respuesta #4

geómetracat

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Hola franma. En general, cuando necesitas probar un resultado para todos los naturales el método a usar es inducción, así que vas bien encaminado. No veo que hayas demostrado algo con lo que escribiste, y seguro por eso es tu pregunta, porque no te convence.

La proposición sería:  \( p(n):\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \) para \( n\in S \).

- Primero, es fácil verificar que el resultado es válido para \( n=1 \), así que el conjunto solución tiene un primer elemento.

El conjunto donde buscas probar que la proposición es verdadera es el conjunto \( S=\{1,2,3,\dots\} \).

- Hipótesis de inducción: Suponemos que el resultado es cierto para \( n\in S \), esto quiere decir que suponemos que la siguiente desigualdad se cumple:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \).

- Tesis de inducción: queremos probar que \( n+1\in S \), esto es, queremos demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<(n+1)^{n+1} \).

Ahora comenzamos a demostrar:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n=n^n+\sum_{k=0}^{n-1}k^n \)

                  \( <n^n+n^n \)   (acá usamos la hipótesis de inducción que supusimos se cumple)

                  \( <2n^n \)

                  \( <(n+1)(n+1)^n \)    (porque \( n+1\geq 2 \)  y  \( n^n<(n+1)^n \))

                  \( =(n+1)^{n+1} \)

El único paso complicado es el penúltimo. Pero como habíamos llegado en el antepenúltimo a que \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<2n^n \) ,  sabíamos que debíamos probar que \( 2n^n<(n+1)^{n+1} \).

¿La tesis de inducción no debería ser \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^{\color{red}n+1}<(n+1)^{n+1} \)?

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Abril, 2021, 01:15 am
Respuesta #5

DaniM

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- Hipótesis de inducción: Suponemos que el resultado es cierto para \( n\in S \), esto quiere decir que suponemos que la siguiente desigualdad se cumple:

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \).

- Tesis de inducción: queremos probar que \( n+1\in S \), esto es, queremos demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<(n+1)^{n+1} \).

¿Lo que queremos demostrar no sería que \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^{n + 1}<(n+1)^{n+1} \)?

Edito: perdón, se me adelantó geómetracat.  :D

07 Abril, 2021, 05:53 am
Respuesta #6

mathtruco

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Tienen toda la razón, tremendo error.

Intenté hacerlo correctamente y se me hizo más difícil de lo que pensaba, pues al final llego a que hay que probar que \( 2n^{b+1}<(n+1)^{n+1} \). A esta hora de la noche no logro ver una forma sencilla de justificarlo, así que si alguien quiere adelantarse, bienvenido, si no mañana lo retomaré.

07 Abril, 2021, 08:58 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Me encontré con el siguiente problema intentando hacer una demostración:
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}k^{n} < n^n \) con n natural.

Me gustaría saber si existe la posibilidad de que se demuestre por inducción (¿Por que inducción? Porque con el conocimiento que tengo actualmente es el único método que conozco para demostrar propiedades para todos los naturales a partir de uno dado.)
Cualquier información relacionada que me ayude a demostrar esto también es agradecido.

Una forma cómoda de probarla es la siguiente. Considera la integral:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}x^n=\ldots=\dfrac{1}{n+1} \)

Por otra parte ten en cuenta que la desigualdad que quieres probar equivale a:

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{k}{n}\right)^n < 1 \)

Ahora si tomas la partición \( \{x_0,x_1,\ldots,x_n\} \) de \( [0,1] \) en \( n \) partes iguales, con \( x_k=k/n \), el ínfimo de la función \( x^n \) en \( [x_k,x_{k+1}] \) es \( (k/n)^n \). Por tanto la suma inferior relativa a esa partición es:

\( \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{k}{n}\right)^n \)

y está acotada por la integral:

\( \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{k}{n}\right)^n\leq \displaystyle\int_{0}^{1}x^n=\ldots=\dfrac{1}{n+1} \)

De ahí:

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{k}{n}\right)^n \leq \dfrac{n}{n+1}<1 \)

Saludos.


07 Abril, 2021, 09:11 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Intenté hacerlo correctamente y se me hizo más difícil de lo que pensaba, pues al final llego a que hay que probar que \( 2n^{b+1}<(n+1)^{n+1} \). A esta hora de la noche no logro ver una forma sencilla de justificarlo, así que si alguien quiere adelantarse, bienvenido, si no mañana lo retomaré.

Supongo que querías poner  \( 2n^{\color{red}n\color{black}+1}<(n+1)^{n+1} \)

Por inducción creo que saldría así. Se trata de, usando que:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}k^n<n^n \)

probar:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}k^{n+1}<(n+1)^{n+1} \)

Pero:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}k^{n+1}<n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}k^{n}=n^{n+1}+n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}k^{n}<n^{n+1}+n^{n+1}=2n^{n+1} \)

Por tanto como apunta mathtruco todo se reduce a probar que:

 \( 2n^{n+1}<(n+1)^{n+1} \)

Eso equivale a:

\( \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}>2 \)

Pero por el Binomio de Newton:

\( \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}=1+\displaystyle\binom{n+1}{1}\cdot \dfrac{1}{n}+\displaystyle\binom{n+1}{2}\cdot \dfrac{1}{n^2}+\ldots>1+\dfrac{n+1}{n}=1+1+\dfrac{1}{n}>2 \)

Saludos.

08 Abril, 2021, 01:50 am
Respuesta #9

mathtruco

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Ahora veo porqué no me salió rápido, estaba más complicado de lo que esperaba. Gracias por estar atento y responder Luis.