Autor Tema: Tercer punto fijo entre dos puntos fijos atractores

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03 Abril, 2021, 08:39 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos,
Supongamos que \( f \) es una función derivable en todo \( \mathbb{R} \), y que \( a,b\in{\mathbb{R}} \) son dos puntos fijos tales que \( a<b \) y son atractores, i.e , \( |f'(a)|<1 \) y \( |f'(b)|<1 \). ¿Es cierto que existe un tercer punto fijo entre esos dos? He estado intentando probarlo usando argumentos de concavidad y convexidad(lo que hice fue probar que en algún punto la concavidad de la gráfica cambiaba, y dado que \( a \) y \( b \) son puntos fijos, pensé que la gráfica debía cortar a la identidad en algún punto, pero al hacer el dibujo vi que la concavidad de la gráfica podía cambiar y aún así no cortar a la identidad ) pero no he tenido éxito. También intenté usar argumentos del teorema de Rolle al considerar la típica función \( g(x)=f(x)-x \) pero lo más que pude sacar de eso, es que existe algún punto tal que la derivada de \( f \) en ese punto vale exactamente 1, pensé que este sería un buen candidato para punto fijo pero tampoco he logrado probar que lo es. Después, intenté construir algunos contraejemplos pero tampoco tuve mucho éxito   :P, el resultado parece cierto jaja. ¿Alguna sugerencia?
De antemano gracias.
Saludos.

03 Abril, 2021, 12:15 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Si \[ a \] es un atractor, existe un \[ \epsilon>0 \] tal que para todo \[ x \in (a,a+\epsilon) \] se tiene \[ f(x)<x \]. Similarmente, como \[ b \] es atractor, existe un \[ \epsilon'>0 \] tal que para todo \[ x \in (b-\epsilon',b) \] se cumple \[ f(x)>x \]. Por continuidad, debe haber un \[ c \in (a,b) \] con \[ f(c)=c \], es decir, un punto fijo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Abril, 2021, 11:05 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Tenía duda sobre la existencia de esos epsilon, pero creo que ya lo veo :) , me estaba complicando demasiado  :banghead:. ¡Muchas gracias!
Saludos.