Autor Tema: ¿Cómo refutar la paradoja de Russell en ZF?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Abril, 2021, 04:19 am
Respuesta #10

Elius

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Bypassing Gödel
Si intentas reproducir aquí la paradoja de Russell, aplicando esto a la fórmula \[ F(x):= x \notin x \], lo que ocurre es que el axioma te dice que existe una clase \[ R \] cuyos elementos son los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Entonces la paradoja de Russell se convierte en una demostración de que \[ R \] es una clase propia (no es un conjunto, \[ R \] no pertenece a ninguna otra clase).

Gracias, geómetracat, he visto el argumento en algunos libros de texto, y lo acepto.
Ahora bien, ese razonamiento puede aplicarse a cualquier conjunto finito.

En NBG:

Aceptamos que R es una clase propia. Pero se puede definir otro conjunto, Rp, de todos los conjuntos que son miembros de un conjunto cualquiera FINITO, W, y P(W) el conjunto potencia de W.

\[ \forall x [x \in Rp \Leftrightarrow x\in P(W)\wedge x \notin x ]  \]


Instanciando x con Rp:

\( Rp \in Rp \Leftrightarrow Rp\in P(W) \wedge Rp \notin Rp  \)

Si \( Rp \in P(W) \) (y no veo la forma de que esto no suceda):

\( Rp \in Rp \Leftrightarrow Rp\notin Rp \)

En este caso no se puede aducir que Rp es una clase propia, pues es un subconjunto de W, conjunto finito, digamos W', que en unión con {W'}, pertenece a P(W).





01 Abril, 2021, 08:56 am
Respuesta #11

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En este caso lo que sucede es que \[ Rp \notin P(W) \]. Por su definición tienes que \[ Rp\subseteq P(W) \], luego \[ Rp \in P(P(W)) \], pero no hay manera posible de concluir que \[ Rp \in P(W) \].

Por ejemplo, si asumes el axioma de regularidad, que implica que ningún conjunto se pertenece  sí mismo, tendrías que \[ Rp=P(W) \]. Pero \[ P(W) \notin P(W) \].

Creo que es difícil encontrar paradojas en ZFC o en NBG que sean tan sencillas de reproducir. Si fuera así de fácil a estas alturas ya se conocerían.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Abril, 2021, 04:34 pm
Respuesta #12

Elius

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Bypassing Gödel
En este caso lo que sucede es que \[ Rp \notin P(W) \]. Por su definición tienes que \[ Rp\subseteq P(W) \], luego \[ Rp \in P(P(W)) \], pero no hay manera posible de concluir que \[ Rp \in P(W) \].

Por ejemplo, si asumes el axioma de regularidad, que implica que ningún conjunto se pertenece  sí mismo, tendrías que \[ Rp=P(W) \]. Pero \[ P(W) \notin P(W) \].

Creo que es difícil encontrar paradojas en ZFC o en NBG que sean tan sencillas de reproducir. Si fuera así de fácil a estas alturas ya se conocerían.

Estimado geómetracat, muchas gracias por tus respuestas.

El objetivo no es simplemente "encontrarle defectos" a un sistema famoso, sino explorar sus límites, para construir un sistema alternativo, basado en principios constructivistas/intuicionistas. Aunque están invisibilizadas en los ambientes académicos, estas corrientes subsisten. Adjunto un artículo sobre el tema.
En cuanto a la sencillez, el recurso planteado por von Neuman y Zermelo contra las contradicciones es aún más sencillo que las objeciones que propongo, tal vez demasiado sencillo: sólo agrega un conjunto "cortafuegos", sin evitar el círculo vicioso cuando x=y, y haciendo caso omiso a las objeciones del intuicionismo a las excepciones al tercio excluso .
Propongo que por un momento consideremos un sistema en el que no vale el axioma de regularidad.

Entonces, supongamos que tenemos el siguiente conjunto:

\( W=\{ a, b, c \} \)

No automiembros:

\( W' = \{ a, b\} \)

\( P(W)=\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\} \} \)
\( Vv=W \cup P(W) \)
\( Vv=\{ a, b, c, \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}\}  \)
\( Vu=Vv \cup P(Vv) \)

Instancia del axioma de especificación, con Rp en \( y \) y la fórmula de Russell:

\(  \forall{x} [ x \in Rp \Longleftrightarrow{} x \in Vu \wedge x \notin x ]  \)

Si instanciamos x con Rp

\(  Rp \in Rp \Longrightarrow{} Rp \in Vu \wedge Rp \notin Rp  \)

\( Rp \) puede ser igual a
\( Rp=W'=\{ a, b \} \),
o bien
\( Rp=\{ a, b, \{ a, b \} \}=\{ a, b, Rp \} \)

...pero en cualquier caso \(  Rp \in Vu  \).

\(  Rp \in Rp \Longrightarrow{} Rp \notin Rp  \)

Si suponemos que \(  Rp \notin Rp  \) :

\(  Rp \in Vv \wedge Rp \notin Rp \Longrightarrow{} Rp \in Rp  \)

\(  Rp \notin Rp \Longrightarrow{} Rp \in Rp  \)

\(  Rp \in Rp \Longleftrightarrow{} Rp \notin Rp  \)

Puedes encontrar interpretaciones reales de esto sin ir a las galaxias externas: en informática comercial se plantea todos los días, cuando quieres construir una carpeta que contenga todas las carpetas contenidas en otra que no tengan un enlace hacia sí mismas. Frecuentemente pasa que el programa que intenta construirla entra en círculos sin salida, porque el sistema crea la nueva carpeta en la misma carpeta que aquellas que está examinando. La gente de informática comercial no le presta atención a la teoría de conjuntos, pero es la concreción práctica de la paradoja de Russell en el sistema de Frege. Las modificaciones de Zermelo y von Neumann serían considerar sólo las carpetas que estén en un segundo nivel de pertenencia, pero esto no soluciona el problema real, porque eso de "R es una clase propia" no tiene una traducción eficaz en la vida práctica. Sería como "dar una excusa" para explicar por qué el programa entra en círculos, pero ninguna solución.

La gente de informática lo soluciona con facilidad: crea  la nueva carpeta fuera del alcance de la parte del programa que busca subcarpetas. Esa sería la solución de Russell con su teoría de tipos.
Pero Zermelo se negaba a aceptar el principio del círculo vicioso de Russell y Poincaré. Tampoco aceptaba las críticas de Brouwer para restringir (no eliminar) la ley del tercio excluso. Tanto él como Hilbert decían que era como matar a las matemáticas superiores. Creo que sentían que les cortaban las alas. Pero si la TC ha de ser útil, ya hay que separar los campos, y para ello hay que ver qué queda de las teorías de alto vuelo en alguna que sirva a la industria.

03 Abril, 2021, 09:16 am
Respuesta #13

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El objetivo no es simplemente "encontrarle defectos" a un sistema famoso, sino explorar sus límites, para construir un sistema alternativo, basado en principios constructivistas/intuicionistas. Aunque están invisibilizadas en los ambientes académicos, estas corrientes subsisten. Adjunto un artículo sobre el tema.
En cuanto a la sencillez, el recurso planteado por von Neuman y Zermelo contra las contradicciones es aún más sencillo que las objeciones que propongo, tal vez demasiado sencillo: sólo agrega un conjunto "cortafuegos", sin evitar el círculo vicioso cuando x=y, y haciendo caso omiso a las objeciones del intuicionismo a las excepciones al tercio excluso .
Me parece muy bien que quieras explorar los límites de ZF. Pero lo que parece que estés afirmando es que es contradictorio. Y lo que decía es que si hubiera una contradicción que se pudiera obtener de manera tan simple, como una variante de la paradoja de Russell, ya se habría encontrado hace tiempo

Citar
Propongo que por un momento consideremos un sistema en el que no vale el axioma de regularidad.

Entonces, supongamos que tenemos el siguiente conjunto:

\( W=\{ a, b, c \} \)

No automiembros:

\( W' = \{ a, b\} \)

\( P(W)=\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\} \} \)
\( Vv=W \cup P(W) \)
\( Vv=\{ a, b, c, \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}\}  \)
\( Vu=Vv \cup P(Vv) \)

Instancia del axioma de especificación, con Rp en \( y \) y la fórmula de Russell:

\(  \forall{x} [ x \in Rp \Longleftrightarrow{} x \in Vu \wedge x \notin x ]  \)

Si instanciamos x con Rp

\(  Rp \in Rp \Longrightarrow{} Rp \in Vu \wedge Rp \notin Rp  \)

\( Rp \) puede ser igual a
\( Rp=W'=\{ a, b \} \),
o bien
\( Rp=\{ a, b, \{ a, b \} \}=\{ a, b, Rp \} \)

...pero en cualquier caso \(  Rp \in Vu  \).
No sé cómo concluyes que \[ Rp \] debe ser igual a uno de esos dos conjuntos. \[ Rp \] tiene como elementos a los conjuntos de \[ Vu \] que no se contienen a sí mismos. En \[ Vu \] está el conjunto \[ \{\emptyset\} \] (por estar en \[ P(Vv) \]) que no se contiene a sí mismo. Por tanto, necesariamente \[ \{\emptyset\}\in Rp \]. Pero entonces no puede pasar que \[ Rp\in Vu \], porque ningún conjunto de \[ Vu \] tiene como elemento a \[ \{\emptyset\} \]. Luego \[ Rp \notin Vu \] y no hay contradicción.

Citar
Puedes encontrar interpretaciones reales de esto sin ir a las galaxias externas: en informática comercial se plantea todos los días, cuando quieres construir una carpeta que contenga todas las carpetas contenidas en otra que no tengan un enlace hacia sí mismas. Frecuentemente pasa que el programa que intenta construirla entra en círculos sin salida, porque el sistema crea la nueva carpeta en la misma carpeta que aquellas que está examinando. La gente de informática comercial no le presta atención a la teoría de conjuntos, pero es la concreción práctica de la paradoja de Russell en el sistema de Frege. Las modificaciones de Zermelo y von Neumann serían considerar sólo las carpetas que estén en un segundo nivel de pertenencia, pero esto no soluciona el problema real, porque eso de "R es una clase propia" no tiene una traducción eficaz en la vida práctica. Sería como "dar una excusa" para explicar por qué el programa entra en círculos, pero ninguna solución.

La gente de informática lo soluciona con facilidad: crea  la nueva carpeta fuera del alcance de la parte del programa que busca subcarpetas. Esa sería la solución de Russell con su teoría de tipos.
Pero Zermelo se negaba a aceptar el principio del círculo vicioso de Russell y Poincaré. Tampoco aceptaba las críticas de Brouwer para restringir (no eliminar) la ley del tercio excluso. Tanto él como Hilbert decían que era como matar a las matemáticas superiores. Creo que sentían que les cortaban las alas. Pero si la TC ha de ser útil, ya hay que separar los campos, y para ello hay que ver qué queda de las teorías de alto vuelo en alguna que sirva a la industria.
A mí personalmente me parecen muy interesantes los sistemas constructivos e intuicionistas. Si se usa ZFC como fundamentación para la matemática estándar es porque los matemáticos usan razonamientos no constructivos. Las matemáticas constructivas son mucho más complicadas, y dan para demostrar muchos menos teoremas. Para la matemática clásica las teorías de conjuntos como ZFC van de maravilla, por eso se usan como fundamentación.

Ahora bien, hay muchas alternativas constructivas. Tampoco diría yo que es cierto que las corrientes constructivistas estén invisibilizadas en ambientes académicos. Hay muchísimos trabajos constructivistas. Lo que pasa es que más que en matemáticas hay que buscarlos principalmente en ambientes de nformática teórica y en las teorías de tipos. Esto es así porque las teorías de tipos constructivas tienen una interpretación compitacional muy clara, a diferencia de la clásica.
Últimamente ha habido un desarrollo brutal de las teorías de tipos dependientes constructivistas a lo Martin Löf. Y esto ha tenido repercusiones también en matemáticas. Desde hace unos diez años ha surgido el campo de la "homotopy type theory", que añade a la teoría de tipos dependiente el principio de univalencia (descubierto por Voevodski, un matemático puro muy famoso) e interpreta las teorías de tipo dependientes en términos de tipos de homotopía (\[ \infty \]-grupoides). Es un campo fascinante que está dando mucho de sí.

En fin, desarrollos constructivistas hay y muchos, solo que hay que saber buscarlos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Abril, 2021, 11:15 pm
Respuesta #14

Elius

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Bypassing Gödel
Ahora bien, hay muchas alternativas constructivas. Tampoco diría yo que es cierto que las corrientes constructivistas estén invisibilizadas en ambientes académicos. Hay muchísimos trabajos constructivistas. Lo que pasa es que más que en matemáticas hay que buscarlos principalmente en ambientes de nformática teórica y en las teorías de tipos. Esto es así porque las teorías de tipos constructivas tienen una interpretación compitacional muy clara, a diferencia de la clásica.
Últimamente ha habido un desarrollo brutal de las teorías de tipos dependientes constructivistas a lo Martin Löf. Y esto ha tenido repercusiones también en matemáticas. Desde hace unos diez años ha surgido el campo de la "homotopy type theory", que añade a la teoría de tipos dependiente el principio de univalencia (descubierto por Voevodski, un matemático puro muy famoso) e interpreta las teorías de tipo dependientes en términos de tipos de homotopía (\[ \infty \]-grupoides). Es un campo fascinante que está dando mucho de sí.

En fin, desarrollos constructivistas hay y muchos, solo que hay que saber buscarlos.

Muchas gracias, geómetracat; ha sido un intercambio muy fructífero para mí.
Antes de despedirme, una última duda:
Si R, la clase conflictiva de Russell, es un miembro de la clase de los complementos (es complemento de la clase de los automiembros), ¿no es esto un problema para la solución de la paradoja?

05 Abril, 2021, 01:24 pm
Respuesta #15

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Antes de despedirme, una última duda:
Si R, la clase conflictiva de Russell, es un miembro de la clase de los complementos (es complemento de la clase de los automiembros), ¿no es esto un problema para la solución de la paradoja?
No sé si entiendo totalmente la pregunta, pero esto depende de la axiomática que consideres. Cada axiomática evita la paradoja de una manera distinta. En NBG, donde el concepto primitivo es el de clase y se define conjunto como una clase que pertenece a alguna otra clase, puedes definir la clase de Russell \[ R \] como aquella cuyos elementos son los conjuntos (y no las clases propias) que no se pertenecen a sí mismos. Pero aquí no hay paradoja pues \[ R \] no es elemento de \[ R \] al ser una clase propia y no un conjunto. Como \[ R \] es una clase propia, no pertenece a ninguna clase. No sé exactamente cómo interpretar la "clase de los complementos". Si te refieres a una "clase" que contenga como elementos a todas las clases que son complemento de alguna otra clase, no se puede definir (pues de nuevo, cualquier elemento de una clase es por definición un conjunto). Por otra parte me parece a mí que la "clase de los complementos" debería coincidir con la "clase de todas las clases" pues una clase es el complemento de su complemento (al menos usando lógica clásica). Pero de nuevo, en NBG existe la clase de todos los conjuntos pero no la "clase de todas las clases".

En ZFC, en el que el concepto primitivo es el de conjunto, tampoco existe la "clase de los complementos" por el mismo motivo que no existe el "conjunto de todos los conjuntos": el "complemento" de un conjunto (en el universo) no es un conjunto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Abril, 2021, 02:02 pm
Respuesta #16

Elius

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 386
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Bypassing Gödel