[Marcos Castillo]

\( ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[ \), o \( \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \), o como dice sugata, \( (-\pi,\pi) \), ¿en qué rango trabaja la calculadora? Si necesito preguntar esto en otro hilo, me decís, os ruego.
¡Un saludo!

[sugata]

\( ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[ \), o \( \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \), o como dice sugata, \( (-\pi,\pi) \), ¿en qué rango trabaja la calculadora? Si necesito preguntar esto en otro hilo, me decís, os ruego.
¡Un saludo!

No tengo ni idea, pero si a ti te sale \( -\pi-arctg(2) \) entiendo que es \( (-\pi, \pi)  \)

[ingmarov]

\( \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \) ¿en qué rango trabaja la calculadora?

Para la tangente inversa es ese, \( \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \)

Para el seno y coseno inversos, basta que veas sus gráficas

Spoiler

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[cerrar]

Saludos

[Marcos Castillo]

Tengo una Kooltech CPC-400N...Vamos, que clon chino de Casio. ingmarov, trabaja como dices.
¡Muchas gracias a todos!

[Abdulai]

Tengo una Kooltech CPC-400N...Vamos, que clon chino de Casio. ingmarov, trabaja como dices.
¡Muchas gracias a todos!

Las calculadoras que conozco trabajan todas así.  Pero tanto Excel como diferentes lenguajes de programación te contemplan la función arco tangente con dos argumentos (x e y)  devolviendo el ángulo entre \( \pm \pi \)

[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

¿Por qué

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{a}=\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{-a}=\alpha+180^º \)

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{-a}=180^º-\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{a}=360^º-\alpha \)


El primer caso está claro, y mi intento es que algo tiene que ver con la fase principal de un complejo.

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la  tangente de un ángulo.
Simbolizada:

\( y=\arctg{\alpha} \)

su significado geométrico es el arco \( y \) (en radianes) cuya tangente es \( \alpha \)

Ejemplo: módulo y fase principal de \( -1-2i \)

\( |-1-2i|=\sqrt{5} \)

\( \mbox{Arg}(-1-2i)=-\pi+\tg^{-1}(2)=-\pi+\arctg{(2)} \)

Algunas veces es conveniente restringir \( \theta=\mbox{arg}(w) \) a un intervalo de amplitud \( 2\pi \), es decir, al intervalo \( 0\leq\theta<2\pi \) ó \( -\pi<\theta\leq{\pi} \), de forma que los números complejos distintos de cero tendrán fases únicas. Denominaremos al valor de \( \mbox{arg}(w) \)en el intervalo \( -\pi<\theta\leq{\pi} \) fase principal de \( w \) y lo escribiremos \( \mbox{Arg}(w) \). Todo número complejo \( w \) excepto el cero tiene una fase principal única \( \mbox{Arg}(w) \).

Creo que el texto es más o menos acorde, coherente: busco una relación entre fase principal de un complejo y el concepto de arcotangente, para el complejo \( -1-2i \); fase principal de \( -1-2i \): \( -\pi+\tg^{-1}(2) \).

En concreto: ¿por qué arco tangente es el inverso de la función tangente?; ¿y qué relación tiene con la fase principal de un complejo entre \( -\pi<\theta\leq{\pi} \)?.

¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

¿Por qué

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{a}=\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{-a}=\alpha+180^º \)

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{-a}=180^º-\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{a}=360^º-\alpha \)

El primer caso está claro, y mi intento es que algo tiene que ver con la fase principal de un complejo.

Es que esas igualdades no son ciertas; o al menos son muy matizables. La primera igualdad no dice nada; le pone un nombre al arcotangente de un cociente.

Ahora por definición, y en principio, el arcotangente de un número es al ángulo cuya tangente es ese número, es decir,

\( arctan(y)=x\quad \Longleftrightarrow{}\quad y=tan(x) \)

El problema es que la tangente es peródica y hay muchos ángulos distintos con el mismo tangente. Por ejemplo

\( tan(\pi/4)=tan(\pi/4+\pi)=tan(\pi/4-\pi)=tan(\pi/4+2\pi)=tan(\pi/4-2\pi)=\ldots=1 \)

Entonces \( artan(1) \) podría ser \( \pi/4 \) ó \( \pi/4+\pi \)i ó \( \pi/4-\pi \) etcétera... (se le puede sumar cualquier múltiplo de \( \pi \)). Por convenio suele escogerse el ángulo en el intervalo \( [-\pi/2,\pi/2) \).

Entonces de cara a usar esto para calcular el argumento de un número complejo, es que no permite disitinguir el primer cuadrante del tercero o el segundo del cuarto. Es decir si calculamos el argumento de un complejo \( a+bi \) como \( arctan(b/a) \), nos daría lo mismo el de \( 1+i \) que el de \( -1-i \). Y es ahí donde tienen sentido igualdades del estilo de las que ponías al principio.

- Si \( a,b>0 \) estamos en el primer cuadrante y entonces \( arg(a+bi)=arctan(b/a) \).

- Si \( a,b<0 \) estamos en el tercer y entonces \( arg(a+bi)=-\pi+arctan(b/a) \).

- Si \( a<0,b>0 \) estamos en el segundo cuadrante y entonces \( arg(a+bi)=\pi+arctan(b/a) \).

- Si \( a>0,b<0 \) estamos en el cuarto cuadrante y entonces \( arg(a+bi)=arctan(b/a) \).

Entendiendo que el argumento (principal) lo queremos definir en \( (-\pi,pi] \). Podría haber otros convenios.

En concreto: ¿por qué arco tangente es el inverso de la función tangente?;

¡Por definición! Esa es justa la definición de arco tangente: la inversa de la función tangente.

¿y qué relación tiene con la fase principal de un complejo entre \( -\pi<\theta\leq{\pi} \)?.

Eso es lo que he explicado antes.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, el_manco, si \( a<0 \), \( b>0 \), estamos en el segundo cuadrante, pero entonces, ¿no es \( \arg{(a+bi)}=\pi-\arctg(b/a)  \)? Escribo con un móvil, y sin previsualizar. No consigo una conexión en la biblioteca, y estoy cambiando de operador.

¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, el_manco, si \( a<0 \), \( b>0 \), estamos en el segundo cuadrante, pero entonces, ¿no es \( \arg{(a+bi)}=\pi-\arctg(b/a)  \)? Escribo con un móvil, y sin previsualizar. No consigo una conexión en la biblioteca, y estoy cambiando de operador.

No. La tangente es periódica de período \( \pi \), por tanto los distintos valores de de arcotangente difieren en múltiplos de \( \pi \).

Creo que te confunde con esto que pusiste aquí:

¿Por qué

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{a}=\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{-a}=\alpha+180^º \)

\( \arctg\displaystyle\frac{b}{-a}=180^º-\alpha \)

\( \arctg\displaystyle\frac{-b}{a}=360^º-\alpha \)

El primer caso está claro, y mi intento es que algo tiene que ver con la fase principal de un complejo.

Ojo, porque ahí lo que dice es que:

\( arctan(-x)=\pi-arctan(x) \)

es decir, hay un cambio de signo en el valor cuyo arcotangente calculamos.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Todo solucionado. Nos vemos. Sigo en precario,, pero contento