[Ricardo Boza]

Hola,

Sea \(f(x)=\exp\Big(-\dfrac{1}{x^2}\Big)\)

Si el dominio de la función es \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), ¿cómo hay quien comete el error de hacer el desarrollo en serie de la función centrado en \(0\)?

Luego se añade: "La función no es analítica porque todas las derivadas son cero, y el resto de Taylor de orden n-ésimo no tiende a cero"

¡Bien podría haber sido la conclusión que sí es analítica según ese razonamiento!, que toda conclusión que saquemos queda invalidada por el hecho de que estamos cometiendo la ilegalidad de calcular derivadas en un punto ¡donde no están definidas!

¿Y bien?

Gracias,

Saludos.

[geómetracat]

Debería ser una función definida de esa manera para \( x \neq 0 \) y \( f(0)=0 \). De esa manera \( f \) es \( C^\infty \) pero no analítica. Es un descuido de donde lo estés mirando.

[Ricardo Boza]

Debería ser una función definida de esa manera para \( x \neq 0 \) y \( f(0)=0 \). De esa manera \( f \) es \( C^\infty \) pero no analítica. Es un descuido de donde lo estés mirando.

¿Las definimos todas \((\forall k\in\mathbb{N}\cup\{0\})\:\dfrac{d^kf}{dx^k}(0)=0\)?

[geómetracat]

Las derivadas en cero no se definen, se calculan a partir de \( f \) (con \( f(0)=0 \)) usando la definición de derivada. Se puede comprobar que dan todas cero.