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Ecuaciones diferenciales / Re: EDO conocida solución particular.
« Último mensaje por mileto en Hoy a las 08:15 am »
muchas gracias
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Teoría de la Medida - Fractales / $$f_\epsilon$$ es Borel medible
« Último mensaje por Miguel.hs en Hoy a las 08:08 am »
Hola, encontré este problema lo he intentado pero se me ha complicado bastante,

Sea \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) una función acotada. Para cada \( \epsilon>0 \), sea \( f_\epsilon:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) la función dada por

$$f_\epsilon(x)=\inf\{f(y):|y-x|<\epsilon\}.$$

Piden probar:
  • Para cada \( \epsilon>0 \), la función \( f_\epsilon \) es Borel medible.
  • La función \( g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por \( g(x)=\sup\{f_\epsilon(x):\epsilon>0\} \) es Borel medible.

Espero me puedan ayudar, muchas gracias de antemano.
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Topología (general) / Re: Sea X, un espacio métrico demuestre que si....
« Último mensaje por Luis Fuentes en Hoy a las 08:04 am »
Hola

Para convertir la secuencia en una subsecuencia completamente contenida en \(  A  \) o \( B  \).

Más bien: para justificar que tiene una subsecuencia  completamente contenida en \(  A  \) o \( B  \).

Citar
Sea \(  (x_n) _ {n \in{}N}  \) una secuencia de Cauchy en \(  A \cup B  \). Entonces debe existir una subsecuencia \(  (x_ {n_k}) _ {k \in{}N} \) que esté completamente dentro de \(  A  \) o completamente dentro de \(  B  \) (ya que si no, entonces tanto \(  A  \) como \(  B \) contendría un número finito de términos en la secuencia, lo que significa que también \(  A \cup B  \) lo haría, lo cual es una contradicción).

Bien.

Citar
Si suponemos  que nuestra subsecuencia \(  (x_ {n_k}) _ {k \in{}  N}  \) está contenida en \( A  \). Dado que \(  A  \) está completo, y una subsecuencia de una secuencia de Cauchy sigue siendo Cauchy, \(  x_ {n_k} \to x   \) para algunos \(  x \in A  \). Sin embargo una secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente es en sí misma convergente con el mismo límite  Por lo tanto, \(  x_n \to x  \) para \(  x \in A \cup B  \), lo que significa que \(  A \cup B  \) está completo. es correcto? esta bien demostrado?

Bien.

Saludos.
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Hola

Hasta aquí comprendí. pero ¿porque aseguras "no es divisible por \( 3 \), porque si lo fuese \( 3 \) también dividiría a \( b_{n+1} \), lo cuál no es cierto." ¿cómo ves, que debe dividir a \( b_{n+1} \)? No lo puedo ver! :banghead: :banghead: :banghead:

Y ahora simplemente nota que:

\( b_{n+3}=4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5 \)

no es divisible por \( 3 \), porque si lo fuese \( 3 \) también dividiría a \( b_{n+1} \), lo cuál no es cierto.


No se si el problema es que tenía una errata. Es "... dividiría a \( b_{n+2} \)..." ya que en:

\( \underbrace{b_{n+3}}_{\textsf{div. por 3}}=4\cdot b_{n+2}-\underbrace{77\cdot 3^{4n-3}b_n^5}_{\textsf{div. por 3}} \)

Si los dos factores que indico son divisibles por 3 también lo es el tercero:

\( 4\cdot b_{n+2}=\underbrace{b_{n+3}}_{\textsf{div. por 3}}+\underbrace{77\cdot 3^{4n-3}b_n^5}_{\textsf{div. por 3}} \)

Saludos.
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¿Cuánto vale \( 1/|0| \)?
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Hola! Tengo este problema \( 1/|x|>3 \)

A mi me da \( -1/3< x < 1/3 \) pero en las respuestas dice que la solución es \( (-1/3,0)\cup (0,1/3) \). Lo probé con calculadoras online y también me tira el \( 0 \) ese en el intervalo que me vuelve loco, no se de donde salió  :banghead:

Saludos y gracias.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 04:53 am »
Es verdad tus soluciones son correctas

Saludos
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Centro de masa.
« Último mensaje por mathtruco en Hoy a las 04:14 am »
Veo que Richard R Richard respondió antes que yo. No he revisado su respuesta en detalle, pero parece que es la misma idea que expongo. Dejo la mía también por si te es útil.



Hola franma, te daré una indicación.

En el problema (a) sólo tienes dos partículas, por lo que el centro de masa es:

    \( \dfrac{m_1(x_1,y_1)+m_2(x_2+y_2)}{m_1+m_2}=\alpha(x_1,y_1)+\beta(x_2,y_2) \)    (*)

donde \( P_i=(x_i,y_i) \)  y
 
    \( \alpha=\dfrac{m_1}{m_1+m_2} \)    \( \beta=\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \)

 Nota que \( \alpha,\beta\in(0,1) \) y \( \alpha+\beta=1 \), por lo que la expresión (*) es la combinación convexa de los dos puntos, y por tanto están sobre ese segmento de recta.

Si no conocías este resultado, lo demuestro a continuación:

-------------------------------------------------------------------------

Proposición: Supongamos que \( \alpha,\beta\in(0,1) \) y \( \alpha+\beta=1 \). Entonces el punto \( (x_0,y_0)=\alpha(x_1,y_1)+\beta(x_2,y_2) \) pertenece al segmento de recta que une los puntos \( (x_1,y_1) \) y \( (x_2,y_2) \).

Demostración: Supongamos que la recta que pasa por los puntos \( (x_1,y_1) \) y \( (x_2,y_2) \) es \( y=mx+b \) (el caso cuando la recta es vertical te lo dejo a ti). Como estos puntos pertenecen a la recta, deben cumplir:

    \( y_1=mx_1+b \)    y    \( y_2=mx_2+b \).

Multiplicando por \( \alpha \) la primera ecuación y por \( \beta \) la segunda ecuación y sumándolas obtenemos

    \( \alpha y_1+\beta y_2 = \alpha m x_1 + \alpha b + \beta m x_2 + \beta b \)

                        \( =m(\alpha x_1 + \beta x_2) + (alpha+\beta) b \)

                        \( =m(\alpha x_1 + \beta x_2) + b \)   (acá usamos que \( \alpha+\beta=1) \)

esto es,

    \( y_0=mx_0+b \).

lo que significa que el punto \( )(\alpha x_1 + \beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2 )=\alpha(x_1,y_1)+\beta(x_2,y_2) \)  (el centro de masa) está sobre la recta que pasa por los puntos \( (x_1,y_1) \) y \( (x_2,y_2) \).

Falta demostrar que está sobre el segmento de recta que une ambos puntos. Tenemos que

    \( x_0=\alpha x_1+\beta x_2 \)    y     \( y_0=\alpha y_1+\beta y_2 \)     (**)

Nota que al ser \( \alpha+\beta=1 \), entonces   \( \beta=1-\alpha \), por lo que (**) es equivalente a

    \( x_0=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2 \)    y     \( y_0=\alpha y_1+(1-\alpha)y_2 \)     (**)

Supongamos que \( x_1<x_2 \), entonces

    \( x_0=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2<\alpha x_2+(1-\alpha)x_2=x_2 \),   es decir, \( x_0<x_2 \).

A su vez,

    \( x_0=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2>\alpha x_1+(1-\alpha)x_1=x_1 \),   es decir, \( x_0>x_1 \).

y por tanto \( x_1<x_0<x_2 \).

El caso \( x_1>x_2 \) es análogo. Además el análisis para la ordenada del punto es análogo también. Y con eso has demostrado que \( x_0 \) está entre \( x_1 \) y \( x_2 \) y que \( y_0 \) está entre \( y_1 \) e \( y_2 \). Como ya probamos que \( (x_0,y_0) \) está sobre la recta que une los puntos \( (x_1,y_1) \) y \( (x_2,y_2) \), hemos demostrado que está en el segmeto de recta que une ambos puntos

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Los otros siguen la misma idea. Aunque no son directos, quizás con la explicación anterior te da luces para hacer los siguientes. Y si no, avisas y los detallamos.
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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Centro de masa.
« Último mensaje por Richard R Richard en Hoy a las 03:55 am »

Si defines \(  P_i=(x_i,y_i) \)


la ecuación de la recta que pasa por dos puntos la puedes definir como


\( y=y_1+\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \)    Ec1


si defines le centro de masa en el eje x usando la fórmula que te dan tienes
que


\( x_{cm}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} \) ec2


si reemplazas lo que vale x_{cm} de la ecuación 2 en la ecuación 1 y operas matemáticamente, debería llegar a una expresión de y que de ser cierta lo propuesto en a)


llegarías a que  \( y=y_{cm}=\dfrac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2} \)

y en ese caso el punto \( (x_{cm},y_{cm}) \)pertenecerán a la misma recta como quieres demostrar.

para b) es más de lo mismo , si el CM de dos masas esta una recta esta sobre una misma recta, al poner otra masa adicional en la misma recta, el nuevo CM  se calcula como si el conjunto de masas anteriores se ubicará ahora el la posición del CM, allí habría una masa total igual a \( m_1+m_2 \) luego si \( m_3 \) esta en la misma recta , usando lo anterior que ya has probado, probaras que el nuevo CM también esta en la misma recta , y si sigues adicionando masas en la misma recta , el cm no se saldrá nunca de ella.

para c) es un tanto mas complejo, debería intentar probar primero que el CM esta ubicado en la posición intermedia entre los dos puntos \( P_1 \) y \( P_2 \)
a estas dos masas las puedes considerar como un única masa puntual ubicada en el CM
una tercera masa \( m_3 \) en \( P_3 \) ubicada fuera de la recta, ubicara el nuevo CM en la posición intermedia entre el viejo CM de 1 y 2  y la masa 3
reemplaza los valores del CM viejo por lo que vale en función del las masas 1 y 2, y prueba que si m_1 tiende a  cero entonces el CM se ubica en una recta que une \( P_2 \) con \( P_3 \) lo mismo  si \( m_2 \) tiende a 0 entonces el CM se ubica en una recta que une \( P_1 \) con \( P_3 \) ,
entonces los límites cuando cada una de las masa es nula  ubica al CM en los lados de un triángulo, cuando las tres masas son mayores a 0 entonces esta en el interior del triangulo.
Matemáticamente como se prueba , no lo sé, pero físicamente eso es lo que sucede en la realidad.






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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción en sucesión recursiva
« Último mensaje por nktclau en Hoy a las 02:47 am »
Hola Luis Fuentes Gracias antes, que nada por la gran ayuda, no he podido responder ya que cursé todo el dia, recién ahora me detengo a verlo.

Sea \( P(n) \) la proposición \( a_n \) es divisible por \( 3^n \) pero no por \( 3^{n+1} \), en otras palabras, \( a_n=3^nb_n \) con \( b_n \) NO divisible por \( 3 \).

Supón cierto \( P(n),P(n+1),p(n+2) \) y prueba \( P(n+3) \).

Por hipótesis de inducción tienes que:

\( a_n=3^nb_n \) con \( b_n \) no divisible por \( 3 \)
\( a_{n+1}=3^{n+1}b_{n+1} \) con \( b_{n+1} \) no divisible por \( 3 \)
\( a_{n+2}=3^{n+2}b_{n+2} \) con \( b_{n+2} \) no divisible por \( 3 \)

Sustituyendo en \( a_{n+3}=12a_{n+2}-77a_n^5 \):

\( a_{n+3}=4\cdot 3^{n+3}b_{n+2}-77\cdot 3^{5n}b_n^5 \)

\( a_{n+3}=3^{n+3}(4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5) \)

Y ahora simplemente nota que:

\( b_{n+3}=4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5 \)


Hasta aquí comprendí. pero ¿porque aseguras "no es divisible por \( 3 \), porque si lo fuese \( 3 \) también dividiría a \( b_{n+1} \), lo cuál no es cierto." ¿cómo ves, que debe dividir a \( b_{n+1} \)? No lo puedo ver! :banghead: :banghead: :banghead:

Y ahora simplemente nota que:

\( b_{n+3}=4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5 \)

no es divisible por \( 3 \), porque si lo fuese \( 3 \) también dividiría a \( b_{n+1} \), lo cuál no es cierto.



GRACIAS!!  :)
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