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Mensajes - geómetracat

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Estadística / Re: Usar nivel de significancia
« en: 31 Marzo, 2021, 01:05 am »
Refinando el lenguaje podemos decir que la probabilidad de que la media poblacional esté en el conjunto \( (-\infty ,20) \) es tal. La media preexiste, de acuerdo, pero no veo error en decir que "la probabilidad de que la media poblacional sea menor a 20 es mayor o igual al 95%", no veo nada raro aquí salvo que induzca a pensar que la media no existe antes de la medición.
Pero es que esa probabilidad o bien es 1 (si efectivamente la media poblacional está en \[ (-\infty,0) \]) o bien es 0 (si no). Como no conocemos la media poblacional de entrada, no podemos decir cuál de las dos alternativas se da. Es una afirmación que no da ninguna información.

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En este ejercicio rechazamos la hipótesis nula si \( Z\leqslant -2,015 \), la comparación \( Z>2,015 \) no se corresponde al ejercicio como comento en otras respuestas. Es fácil de ver: si \( \mu=1 \) entonces tendríamos que rechazar la hipótesis nula ya que \( Z>2,015 \), lo cual no tiene sentido ya que \( 1<20 \).
No puede ser. Si tienes un test donde la hipótesis nula es de la forma \[ H_0:\mu \leq \mu_0 \] y la alternativa \[ H_a:\mu > \mu_0 \], la región crítica, en la que rechazas la hipótesis nula, es de la forma \[ Z>z_\alpha \], con \[ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \]. Intuitivamente tiene sentido: vas a rechazar la hipótesis nula si la media muestral está lo suficientemente a la derecha del límite \[ \mu_0 \]. Si la media muestral está a la izquierda del límite \[ \mu_0 \] siempre vas a aceptar la hipótesis nula, con más motivo cuanto más a la izquierda esté.

El estadístico que usamos para el contraste aquí es \[ Z=\frac{\bar{X}-20}{S/\sqrt{6}} \]. Se toma el peor de los casos, que es que la media poblacional sea \[ 20 \]. No se van considerando varios estadísticos según el valor de \[ \mu \].

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Estadística / Re: Usar nivel de significancia
« en: 31 Marzo, 2021, 12:19 am »
Um, hay algunas cosas de interpretación que no sé si quedan muy claras.

La media poblacional es un parámetro fijado (pero que desconocemos) que pretendemos estimar usando la media muestral como estimador. Por tanto, frases como "la probabilidad de que la media poblacional sea menor a 20 es del 95%" no tienen mucho sentido. Al ser la media poblacional un parámetro, o es menor a 20 o no lo es, pero no tiene sentido hablar de probabilidades.

Por otro lado, la distribución del estadístico \[ Z \], que aquí sigue una \[ t_5 \], se calcula teniendo en cuenta que la hipótesis nula es cierta (en este caso en que la hipótesis nula es compuesta, se asume el peor de los casos, que es que el valor real de \[ \mu \] sea \[ 20 \]).
El nivel de significancia del 5% se interpreta entonces como que la probabilidad de rechazar la hipótesis nula suponiendo que ésta es verdadera es como mucho del 5%. Es decir, suponiendo que la hipótesis nula es verdadera, la probabilidad de al tomar una muestra tener la mala suerte de obtener una que cumpla \[ Z>2.015 \] es como máximo del 5%. Pero es importante tener en cuenta que para calcular esta probabilidad estás asumiendo que la hipótesis nula es verdadera.


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Lógica / Re: Árbol de análisis
« en: 30 Marzo, 2021, 10:32 am »
Es un árbol que te permite ver cómo se construye una fórmula a partir de sus componentes. Las hojas del árbol son las fórmulas atómicas (las variables proposicionales, en este caso) y cada nodo corresponde a algún operador lógico.

Sobre para qué se usa, la verdad es que nunca he visto ningún uso especial para esto. Puede ser útil de cara a informática, donde las fórmulas se pueden guardar como árboles, lo cual también hace más fácil operar con ellas. Pero a nivel puramente matemático nunca he visto ningún uso especial.

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Para geometría diferencial de variedades yo diría que lo más importante es tener bien claros los conceptos de álgebra lineal (espacios vectoriales, aplicaciones lineales, espacio vectorial dual, productos escalares, etc.) y el cálculo diferencial en varias variables, básicamente derivadas parciales, matrices jacobianas y regla de la cadena en forma matricial. Imprescindible conocer y saber usar los teoremas de la función inversa y de la función implícita, como dice Masacroso (no es necesario saberse la demostración, con el enunciado te vale).

Lo que no es necesario es que te pongas a repasar rotacionales y divergencias, pues se definen de manera ligeramente distinta y son menos importantes y usados en geometría de variedades que en un curso típico de cálculo vectorial.

Sobre integración: hay que saber qué son y cómo se calculan las integrales múltiples. También es muy importante conocer el teorema de cambio de variable para integrales múltiples. Pero no hay que obsesionarse mucho con integrales de línea o superfície, ni con los teoremas típicos de Stokes o de Gauss. En variedades se da una generalización de todo eso usando el lenguaje de las formas diferenciales que es conceptualmente más claro (al menos para mí) que lo que se hace en un curso típico de cálculo vectorial.

Otra cosa básica de análisis (aunque no de cálculo vectorial) que se usa mucho en variedades son los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, así como la dependencia suave de las condiciones inciales.

Luego ya depende de en qué se centre el curso puede que necesites más cosas. Pero lo básico es eso. De hecho, incluso es posible que no necesites todo lo que te he dicho (por ejemplo, puede que no veáis nada de integración en variedades ni de formas diferenciales).

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Hay que usar un test chi cuadrado de independencia. ¿Has visto estos tests en clase? Si no es así, puedes encontrar explicaciones y ejemplos en internet. Por ejemplo, aquí: https://bookdown.org/dietrichson/metodos-cuantitativos/prueba-de-independencia-o-asociacion.html

Si no te aclaras vuelve a preguntar con las dudas concretas que tengas.

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Topología (general) / Re: Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 26 Marzo, 2021, 12:06 am »
Sí, pero ten en cuenta que si la banda diagonal pertenece a la uniformidad entonces ésta es discreta. Es decir, \[ (0,1) \] con la uniformidad discreta no es totalmente acotado.

Pero si consideras \[ (0,1) \] con la uniformidad inducida por la métrica usual sí lo es. Basta probarlo para las bandas \[ V_\epsilon \] con \[ \epsilon>0 \]. Pero dado un \[ \epsilon>0 \] fijado no es difícil ver que existe un conjunto finito de puntos de \[ (0,1) \] tales que cualquier punto de \[ (0,1) \] dista menos de \[ \epsilon \] de uno de esos puntos.

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Estructuras algebraicas / Re: Ejercicios de anillos
« en: 25 Marzo, 2021, 01:00 pm »
El segundo no funciona bien. Si \[ a,b \] no son invertibles (y \[ m,n>0 \]), puede que \[ a^{mx} \] no esté definido, pues potencias negativas de \[ a \] no están definidas.

Además, en algún sitio hay que usar que el anillo es dominio entero, pues en caso contrario el resultado es falso. Por ejemplo, en  \[ \Bbb Z/8 \], se tiene \[ 2^3=0=4^3 \] y \[ 2^5=0=4^5 \], pero sin embargo \[ 2 \neq 4 \].

Para arreglarlo, lo más fácil es primero observar que si \[ a^n=0 \] para algún \[ n \] entonces necesariamente \[ a=0 \] (porque el anillo es entero). Por tanto podemos suponer que \[ a,b \neq 0 \]. Ahora puedes pasar al cuerpo de fracciones de \[ A \] (que existe porque \[ A \] es entero) donde \[ a,b \] son invertibles y tu argumento funciona tal cual.


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Hay una situación real donde es importante la distinción objetos distinguibles/indistunguibles en el sentido que dices (o entiendo que dices).

En mecánica estadística, uno está interesado en conocer la distribución de energía de un sistema de partículas libres (no hay interacciones entre partículas). Esto se puede reducir a un problema de combinatoria sencillo. El problema es el siguiente: tenemos \[ N \] partículas y \[ M \] niveles de energía (que supondremos distinguibles y numerados de menor a mayor). ¿Cuál es la probabilidad de cada configuración posible si todas son equiprobables? Esto es equivalente a preguntar cuál es la probabilidad de tener una configuración concreta en un problema de llenar \[ M \] urnas con \[ N \] bolas, si todas las configuraciones son equiprobables. Obviamente la probabilidad de una configuración concreta será \[ \frac{1}{\text{n° configuraciones posibles}} \], por tanto basta con contar el número de configuraciones posibles.

Resulta que la respuesta a esto depende del tipo de partícula. Haré el ejemplo con \[ N=M=2 \]. Si las partículas son clásicas, son distinguibles (puedes diferenciarlas mirando su posición, por ejemplo). Entonces hay cuatro configuraciones posibles: \[ AB| \] (ambas partículas en el primer nivel), \[ A|B \] (la \[ A \] en el primer nivel y la \[ B \] en el segundo), \[ B|A \] (la \[ B \] en el primer nivel y la \[ A \] en el segundo) y \[ |AB \] (ambas en el segundo nivel). Esta es la distribución de Maxwell-Boltzmann.

Ahora bien, si consideramos que las partículas son cuánticas, resulta que no hay manera posible de distinguirlas. No se pueden numerar ni diferenciar de ninguna manera, son objetos idénticos. En este caso, solo hay tres configuraciones: las dos están en el primer nivel, hay una en cada nivel o las dos están en el segundo nivel. No puedes distinguir los casos \[ A|B \] y \[ B|A \] porque no puedes distinguir entre ambas partículas.
Esta es la distribución de Bose-Einstein, y se aplica a las partículas cuánticas que son bosones (tienen spin entero), como por ejemplo los fotones.

Hay otra distribución que se aplica a las partículas cuánticas que son fermiones (spin semientero), como los electrones o los protones. Esta se llama de Fermi-Dirac, y aquí las partículas siguen siendo indistinguibles pero ahora no puede haber más de una en cada nivel (el famoso principio de exclusión de Pauli). En el ejemplo, solo hay una configuración posible (una partícula en cada estado).

Esta distinción es muy importante en física, pues el comportamiento y las propiedades del sistema dependen fuertemente de si las partículas se pueden considerar clásicas o son cuánticas (y en este último caso de si son bosones o fermiones).

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La versión con el existencial es fácil de ejemplificar:

"Para todo x, x pertenece a NROS_PARES si y sólo si, x pertenece a los NROS_NATURALES y x dividido entre dos tiene resto cero"

En lógica antigua, esto se llamaba definición por género próximo y diferencia específica.
Lo siento, no lo entiendo muy bien. Esto es un ejemplo, ¿a qué exactamente?

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¿Podrías darme un ejemplo de definición de un conjunto con el cuantificador universal para el conjunto auxiliar \( z \)?
No sé muy bien a qué te refieres. Pero cuando digo por ejemplo \[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x\in z \wedge F(x)) \] lo que estoy diciendo es que para cada conjunto \[ z \] existe el subconjunto de \[ z \] formado por los elementos que cumplen \[ F(x) \].

Cuidado por eso: este axioma no es equivalente al de \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z \,x\in z) \wedge F(x)) \]. Este último te dice que existe la clase de todos los elementos que son conjuntos (pertenecen a alguna otra clase) y cumplen \[ F(x) \].

Por ejemplo, si aplicas el primer axioma a \[ x = x \], como \[ x=x \] es trivialmente cierto para todo \[ x \], obtienes que \[ \forall z \exists y \forall x (x\in y \leftrightarrow x \in z) \], que no es muy interesante: te está diciendo que para todo conjunto \[ z \] existe el subconjunto de \[ z \] formado por todos los elementos de \[ z \]. Pero esto es obvio, de hecho \[ y=z \].

En cambio, el segundo axioma aplicado a la misma fórmula te dice que \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z \, x \in z)) \]. Si llamamos \[ V \] a la clase \[ y \] cuya existencia afirma el axioma, este axioma te dice que existe una clase \[ V \] cuyos elementos son todas las clases que pertenecen a alguna otra clase (que en NBG son las clases a las que llamamos conjuntos).
Como ves, los dos axiomas dicen cosas muy distintas.

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Puedo sacar \( z \) fuera del bicondicional ya que la primera condición no contiene ninguna variable \( z \), y por las reglas de la forma prenexa, es posible.

No, no lo es. Un ejemplo sencillo (en los números naturales): \[ \exists x(x\neq 0 \leftrightarrow 0\neq0) \] es verdadera (porque \[ 0\neq 0 \leftrightarrow 0\neq 0 \] es verdadera al ser ambos lados falsos), pero \[ (\exists x \, x \neq 0) \to 0\neq 0 \] es falsa: el lado izquierdo es verdadero pero el derecho es falso.
El motivo último es que si \[ x \] no aparece en \[ \psi \], \[ \exists x(\phi(x) \to \psi) \] es equivalente a \[ (\forall x \, \phi(x)) \to \psi \] y no a \[ (\exists x \, \phi(x))\to \psi \]. En efecto, \[ \exists x(\phi(x)\to \psi) \equiv \exists x(\neg \phi(x) \vee \psi) \equiv (\exists x \neg \phi(x)) \vee \psi\equiv (\neg \forall x \phi(x)) \vee \psi \equiv (\forall x \phi(x)) \to \psi \].

Sobre el pdf: de \[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \] no puedes pasar a \[ \forall z \forall x (x \in R \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \]. Los cuanticadores se deben eliminar de fuera hacia dentro, de manera que lo que es cierto es que fijado un \[ z \], existe un conjunto \[ R \], que depende de \[ z \], tal que \[ \forall x (x \in R \leftrightarrow (x\in z)\wedge F(x)) \]. Lo importante es que en esta última fórmula el \[ z \] ya está fijado.

De todas formas, esto no es muy relevante. Creo que el argumento que pretendías hacer es el argumento con clases, con el axioma de la segunda foto: \[ \exists y \forall x(x \in y \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge F(x)) \].

Bien, veamos qué pasa. Tenemos que existe una clase \[ R \] que cumple:
\[ \forall x(x \in R \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x \notin x) \].
Por otro lado, tenemos una clase \[ M \] que cumple:
\[ \forall x(x \in M \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x\in x) \].
También tenemos el complemento de \[ M \]:
\[ \forall x(x \in M^c \leftrightarrow (\exists z \, x \in z) \wedge x \notin M) \].
Instanciando en la primera fórmula, tenemos:
\[ M^c \in R \leftrightarrow (\exists z \, M^c \in z) \wedge M^c \notin M^c \].
Como \[ M^c \] y \[ R \] son la misma clase, tenemos:
\[ R \in R \leftrightarrow (\exists z \, R\in z) \wedge R \notin R \] (cosa a la que podíamos haber llegado instanciando \[ R \] en la primera fórmula, sin dar tanta vuelta).
Pero ahora no hay paradoja. Si \[ R \in R \] entonces \[ (\exists z \, R\in z) \wedge R \notin R \], en particular \[ R \notin R \], contradicción. Por tanto debe ser \[ R \notin R \]. Pero ahora, la última fórmula te dice que \[ R \notin R \leftrightarrow \neg(\exists z \, R \in z) \vee R \in R \]. Si tuviéramos \[ \exists z \, R \in z \], entonces llegaríamos a \[ R \in R \] y sería una contradicción. Pero este argumento lo que demuestra entonces es que se tiene \[ \neg \exists z \, R \in z \] (y en particular que \[ R \notin R \]). No hay ninguna contradicción aquí. Es lo que te decía antes: la paradoja de Russell en NBG es una demostración de que \[ R \] es una clase propia.

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Foro general / Re: carrera de programación
« en: 23 Marzo, 2021, 09:16 pm »
Complementando los enlaces de Juan Pablo, aquí tienes los enlaces a las guías docentes de las asignaturas donde aparece el programa:

http://web.fdi.ucm.es/Guia_Docente/Prog_asignatura.asp?fdicurso=2020-2021&titu=44

http://web.fdi.ucm.es/Guia_Docente/Prog_asignatura.asp?fdicurso=2020-2021&titu=42

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Perdón el off-topic y quizás la respuesta sea bastante larga como para contestar, pero ¿por qué los conjuntos se denotan con letra minúscula? ¿No existe la noción de "elemento de un conjunto"? Porque en otro caso lo único que se me ocurre cuando veo \( x\in y \) donde \( x,y \) son conjuntos como ustedes afirman, es cuando \( y=\mathcal Px \).
En las teorías axiomáticas de conjuntos más habitiales todo son conjuntos. Los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. No hay ninguna distinción entre "elemento de un conjunto" y "conjunto". En ZFC por ejemplo todo se construye a partir del conjunto vacío, en el sentido de que dado cualquier conjunto, si tomas elementos de los elementos de los elementos ... del conjunto, al final siempre llegas al conjunto vacío. Al principio esto puede chocar un poco, porque cuando se trabaja intuitivamente con conjuntos se suele hacer una distinción entre elementos y conjuntos, pero el hacerlo así simplifica mucho la teoría porque solamente hay un tipo de objeto.

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Creo que te has olvidado de adjuntar las fotos. Pero el axioma en ZF es el que he puesto yo, lo puedes comprobar en cualquier sitio donde aparezca la lista de axiomas de ZF.
De hecho es precisamente la idea para evitar la paradoja de Russell: como el axioma de comprehensión sin restricciones da lugar a paradojas, lo restringimos a que dado un conjunto \[ z \] (que sabemos previamente que existe) podemos formar el conjunto de los elementos de \[ z \] que cumplen la condición \[ F \]. Ahora la paradoja de Russell se convierte en una demostración en ZF de que no existe el conjunto de todos los conjuntos.

No es cierto que \[ y \] sea la clase vacía, pues el \[ y \] depende de \[ z \]. Es decir, cuando escribes \[ \forall z \exists y \dots \] esto quiere decir "para cada \[ z \] existe un \[ y \] (que puede ser distinto para cada \[ z \]) tal que...
Cosa distinta sería \[ \exists y \forall z \], eso sí quiere decir que hay un conjunto \[ y \] (siempre el mismo) tal que para todo \[ z \]...

Añadido:
La fórmula que pones, \[ \exists y\,\forall x\,\exists z[(x\in y)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge F(x)]
 \], es trivialmente cierta (sin ningún tipo de especificación). Si tomas \[ y=\emptyset \], para cada conjunto \[ x \] se cumple \[ \exists z[(x\in \emptyset)\Leftrightarrow(x\in z)\wedge F(x)]
 \]. En efecto, tomando \[ z=\emptyset \] tenemos que se cumple \[ (x\in \emptyset)\Leftrightarrow(x\in \emptyset)\wedge F(x) \] (pues ambos lados son falsos, sea quien sea \[ F \]).

Añadido 2:
He visto ahora que las fotos del libro de Quine están en el primer mensaje.
Estás malinterpretando lo que dice. En la primera foto, cuando se dice que el axioma de separación de Zermelo no proporciona clases distintas de la clase vacía se refiere a que con ese axioma por sí solo no puedes demostrar que exista ningún conjunto que no sea el conjunto vacío. Por eso en ZF hay que añadir el axioma del par, el axioma de la unión, el axioma del conjunto potencia, etc, para poder formar otros conjuntos a partir del vacío. En cambio, en la versión irrestricta del axioma de comprehensión (aunque contradictoria) tales axiomas adicionales no eran necesarios.

En la segunda foto, lo que aparece es el axioma \[ \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow (\exists z\, x\in z) \wedge F(x)) \]. Pero esto no es equivalente a lo que ponías tú, pues no puedes sacar el \[ \exists z \] fuera del bicondicional. Este es un axioma que tiene mucho sentido en teorías donde el concepto primitivo son clases, como NBG. Aquí se define conjunto como una clase que pertenece a otra clase. Las clases que no son conjuntos (no pertenecen a ninguna otra clase) se llaman clases propias. Por tanto, una clase \[ x \] es un conjunto si cumple \[ \exists z(x \in z) \], que es lo que aparece en la fórmula. Es decir, este axioma te dice que para cada fórmula \[ F(x) \] existe una clase cuyos elementos son exactamente los conjuntos (¡y no las clases en general!) que cumplen \[ F(x) \].
Si intentas reproducir aquí la paradoja de Russell, aplicando esto a la fórmula \[ F(x):= x \notin x \], lo que ocurre es que el axioma te dice que existe una clase \[ R \] cuyos elementos son los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Entonces la paradoja de Russell se convierte en una demostración de que \[ R \] es una clase propia (no es un conjunto, \[ R \] no pertenece a ninguna otra clase).

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El axioma de separación en ZF que pones no es correcto. Debería ser:
\[ \forall z \exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x\in z \wedge F(x)) \].

Primero tienes que especificar un conjunto \[ z \], y entonces el axioma de separación te da el conjunto \[ y \] de los elementos de \[ z \] que cumplen la propiedad. Pero el conjunto \[ y \] depende de \[ z \].

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Me da la sensación que no hago más que repetirme, pero vamos una vez más.

Nosotros podemos encontrar dos tipos de razonamientos: Categóricos y no categóricos. Se diferencian porque los primeros contienen cuantificadores, y los segundos no. Así pues, los razonamientos no categóricos serían "más fáciles" de manejar porque toda la cuestión de cuantificadores desaparece, y las demostraciones pueden ser más rápidas, porque la única manera de demostrar las leyes lógicas es a través de tablas de verdad. Las leyes lógicas que presento en la lista no son axiomas, porque pueden demostrarse por tablas de verdad, ni son reglas de inferencia, porque no todas las reglas de inferencia pueden demostrarse mediante tablas de verdad (los razonamientos categóricos).
El problema, tal como lo veo, es que está todo liado y así es imposible hacer nada. Lo de categórico/no categórico en referencia a cuantificadores ya es mala señal, pues esa nomenclatura hasta donde yo sé viene de los silogismos aristotélicos, que está más que superado. Nunca he visto a nadie (no filósofo) hablar de razonamientos categóricos en ese sentido.

Además aquí estás mezclando lógica proposicional con lógica de primer orden. Esto lleva a más confusiones, porque a veces usas variables proposicionales y argumentos proposicionales, y a veces de primer orden. Que es algo que no es muy problemático si las cosas están claras, pero aquí contribuye a la confusión.

Por otro lado, vuelves a confundir una vez más semántica y sintaxis. Que algo se pueda demostrar con tablas de verdad (semántica) no tiene nada que ver con que sea un axioma o no de un cierto cálculo deductivo (sintaxis).
Un axioma de un cálculo deductivo es simplemente una fórmula que puedes usar siempre que quieras en una demostración formal. Y por demostración formal me refiero aquí a una sucesión de fórmulas donde cada una es o un axioma o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia, y la última fórmula de la lista es lo que quieres demostrar. No tiene nada que ver considerar una fórmula como un axioma de un cálculo deductivo con que se pueda demostrar usando tablas de verdad o no (salvo que si quieres que el cálculo sirva para algo, más vale que los axiomas sean verdaderos).

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Entonces, si quieres demostrar \( (p\iff q)\iff(p\to q\land q\to p) \) tienes que hacer la tabla de verdad de cada proposición y compararlas. Esto se PUEDE hacer en un razonamiento NO categórico, pero NO se puede hacer en uno categórico. Imagina que tienes que demostrar que \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \), ¿cómo usarías tablas de verdad con cuantificadores? Es imposible.
Para empezar, otra vez la confusión entre fórmulas y razonamientos. ¿Quieres decir demostrar la fórmula \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \) sin premisas, o demostrar el razonamiento \( (\forall x\,p(x))\to p(a), \forall x\,p(x)\vdash p(a) \)? Porque no es lo mismo.
Por otro lado, en realidad en este argumento que aparezcan cuantificadores es un accidente, porque se ajusta al esquema \[ (\phi \to \psi) \wedge \phi \to \psi \], que es una tautología sean cuales sean \[ \phi, \psi \].

Pero es que aún obviando esto, si estás en lógica de primer orden, hay una semántica que se define en términos de modelos y valuaciones, y puedes demostrar esa fórmula (pero no dar una demostración formam en un cálculo deductivo, que es otra cosa) pefectamenre razonando semánticamente en términos de modelos.

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Luego no se puede afirmar que todas las reglas de inferencias sean leyes lógicas, pero tampoco afirmar que todas las leyes lógicas sean reglas de inferencia. Porque un razonamiento es VÁLIDO o INVÁLIDO (como Modus Ponens), pero las leyes lógicas son PROPOSICIONES por lo tanto se les puede asignar un VALOR de VERDAD y a los razonamientos no corresponde decirles "Es verdadero o falso", sino "Es válido o inválido".
Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

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Así que desde mi punto de vista podemos concluir que: Todos los razonamientos no categóricos válidos pueden transformarse en leyes lógicas, pero no todos los razonamientos categóricos válidos pueden hacerlo.
Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

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Nunca las habrá en un curso universitario.
No estoy de acuerdo.

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Pero según entiendo la deducción formal es un tipo de demostración formal, y los matemáticos lo usan muy a menudo. Pues aquí lo mismo, el cálculo inventado por nosotros vendría a ser un tipo de demostración formal.
Ningún matemático "normal" hace demostraciones formales. Recuerda que una demostración formal es una sucesión de fórmulas donde cada una es un axioma, o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia. Si abres cualquier libro de matemáticas encontrarás cosas explicadas con palabras, pero en ninguno vas a encontrar listas de fórmulas numeradas donde te pongan al lado que tal se sigue de la fórmula número 5 y 16 por modus ponens.

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La lista completa está en el mensaje #40 y hasta ahora sigo desconociendo si con esas reglas se forma un cálculo completo (en cuyo caso su prueba sería inentendible para mí) o no (en ese caso me gustaría que des un contraejemplo de que con esas reglas no se pueda demostrar un razonamiento o una proposición).
Yo creo que no es completo. ¿Cómo demuestras algo de la forma \[ \vdash p \to p \] (sin premisas)? Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? Insisto, demostración formal atendiendo a lo que tú mismo pusiste:
Explicación del método demostrativo

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.

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Desde luego pienso que en el cálculo inventado por nosotros estamos dando por hecho que \( \vdash \) y \( \to \) son exactamente la misma cosa.
Pero cómo van a ser lo mismo si \[ \vdash \] no es un símbolo del lenguaje formal y \[ \to \] sí. \[ p \to p \] es una fórmula proposicional, \[ p \vdash p \] no lo es. No tiene ningún sentido decir que has dado una demostración formal de \[ p \vdash p \], pero tiene todo el sentido del mundo dar una demostración formal de \[ p \to p \]. \[ p \vdash p \] es solo una manera corta de decir "existe una demostración formal de \[ p \] a partir de la premisa \[ p \]".

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Ésto: \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] puede ser visto como demostrar que el razonamiento \( p\land q\therefore q\land p \) es un razonamiento NO categórico válido, y se lo demuestra a través del método del condicional asociado (que consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero. Si lo es, el razonamiento será válido) o a través del método demostrativo. O también puede ser visto como una proposición sin más.
Mezclas demostrar algo (en la metateoría) con dar una demostración formal de una fórmula. No puedes dar una demostración formal de un razonamiento, es algo que no tiene sentido. Solamente puedes dar demostraciones formales de fórmulas. Y de nuevo, una demostración formal en un cálculo deductivo nada tiene que ver en principio con que la fórmula sea verdadera o falsa, solamente si existe una sucesión de fórmulas tal que blablabla.

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Aquí se confirma mi sospecha, y es que para nosotros \( \vdash \) y \( \to \) son dos maneras de indicar lo mismo. ¿Por qué habría que diferenciarlas según tú? ¿Porque no se conoce el teorema de la deducción? Pero si justamente nosotros estaríamos dando por probado ese teorema, entonces no hay de qué preocuparse, salvo por el hecho de estudiar si es un cálculo completo sólo con esas reglas.
Como ya he dicho antes, no son lo mismo, porque \[ \to \] es un símbolo del lenguaje formal y \[ \vdash \] no lo es. En cualquier caso el teorema de deducción es un teorema, y no creo que lo hayas probado porque en el cálculo que das parece que es falso. De nuevo, es claro que \[ p,q \vdash p \], pero a ver cómo das una demostración formal de \[ q \vdash p \to p \].

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Y no hay ningún problema con estudiar cuándo debe particularizarse una proposición universal y cuándo una existencial, ni tampoco anotarse cuáles eran las variables genéricas y cuáles no. Al principio yo particularizaba en cualquier orden y luego aprendí que estaba mal.
De acuerdo. La pregunta es si en la práctica lo haces o no.

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A ver si me explico. Hay dos posibles interpretaciones:

La primera es que \[ \equiv \] es lo mismo que el símbolo lógico \[ \iff \], y las leyes lógicas que das son axiomas, es decir, fórmulas del lenguaje formal que puedes usar en cualquier momento en una demostración formal.
En ese caso, la regla 10 es\[ (p\iff q)\iff ((p\to q)\wedge (q\to p)) \]. Ahora, en cualquier momento puedes usar esa fórmula. Pero bajo esta interpretación, es imposible a partir de la premisa \[ p\iff q \] deducir \[ (p\to q)\wedge(q\to p) \] (en el sentido de que hay una sucesión de fórmulas que son o la premisa o axiomas o fórmulas que se siguen de las anteriores usando reglas de inferencia) porque no hay ninguna regla de inferencia que te digá qué hacer con un bicondicional.

La segunda interpretación, que es la que creo que tiene más sentido, es que las leyes lógicas son reglas de inferencia. Entonces sí: siempre que tengas \[ p\iff q \] puedes poner en la siguiente línea de la demostración \[ (p \to q) \wedge (q\to p) \]. En este caso por eso no hay axiomas, solamente reglas de inferencia.

Lo que no puedes hacer es mezclar ambas interpretaciones.

No sabría decirte, pero puede que tengas razón en el fondo. ¿Este es el punto conflictivo de todo? Házmelo saber así trato de comunicarlo al profesor.
Pues no sé. Para mí el punto conflictivo es que no me acaban de quedar las cosas claras porque no hay definiciones precisas.

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Es que según entiendo, la lista que di es sólo la base (axiomas) con los que partimos. Para demostrar algo nos basamos en esa lista (y en los exámenes será suficiente), pero además en todo aquello que ya hayamos demostrado con anterioridad. Imagínate si para demostrar que \( \lim_{x\to3}x^2=9 \) sólo nos basamos en los axiomas de los números reales y tal, ¡¡la demostración ocuparía miles de páginas!!
Claro, una demostración formal y completa de eso ocupa miles de páginas. Por eso las demostraciones formales en principio solo se usan para examinar cuestiones lógicas o metamatemáticas. Nadie en su sano juicio se va a poner a hacer una demostración formal de un teorema de análisis.

Por otro lado, puedes usar fórmulas y reglas que ya hayas probado con anterioridad, entendiendo que si usas esto en mitad de una demostración formal en realidad es una abreviatura de la demostración completa.

El problema es que yo no sé qué cosas has demostrado con anterioridad, de manera que si no das una lista completa de todo lo que puedes usar, no sé a qué atenerme. Por otro lado, todos los problemas que has puesto por aquí se pueden hacer perfectamente desde cero con un cálculo deductivo decente, como por ejemplo deducción natural.

Tienes razón, creo que me había ido por la tangente, porque tú preguntabas si \( p\land q\iff q\land p \) debe interpretarse como una regla de inferencia, y yo te digo que sí, porque si nos basamos en la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). Aquí si queremos demostrar \( p\land q\to q\land p \) podemos considerar \( p\land q \) como premisa, y \( q\land p \) como conclusión. Por supuesto que el ejemplo no vale porque es un argumento circular, pero aquí lo importante era entender qué es un razonamiento y lo acabé de aclarar así que sí puede tomarse como un razonamiento.
A ver, demostrar la fórmula \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] no es lo mismo que demostrar que bajo la premisa \[ p \wedge q \] se deduce \[ q \wedge p \] (esto lo denoto \[ p\wedge q \vdash q\wedge p \], donde lo que hay a la izquierda del \[ \vdash \] son las premisas y lo que hay a la derecha la conclusión). Lo primero es una fórmula del lenguaje formal, lo segundo es un razonamiento. Hay una diferencia fundamental entre \[ \to \] y \[ \vdash \], que es análoga a la que hay entre \[ \iff \] y \[ \equiv \]. \[ \to \] y \[ \iff \] son símbolos lógicos, forman parte del lenguaje formal. En cambio, \[ \vdash \] y \[ \equiv \] son símbolos metamatemáticos, no forman parte del lenguaje. \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \] es una fórmula, que puede aparecer en medio de una demostración formal. En cambio, \[ p \wedge q \vdash q \wedge p \] no es ninguna fórmula, no es nada que pueda aparecer en una demostración.

En tu cálculo deductivo, con la segunda interpretación en que las leyes lógicas son reglas de inferencia, es imposible demostrar la fórmula \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \]. Esto es porque no hay axiomas, solo reglas de inferencia, de forma que es imposible demostrar una fórmula sin premisas. En cambio, es trivial demostrar \[ p\wedge q \vdash q \wedge p \]. Es simplemente una aplicación de la regla de inferencia dada por la ley lógica 2.

Dicho esto, sí es cierto que (en cualquier cálculo deductivo de los que encuentras en libros de lógica matemática) se tiene que \[ \vdash \phi \to \psi \] (puedes demostrar la fórmula \[ \phi \to \psi \]) si y solo si \[ \phi \vdash \psi \] (con algunos comentarios si hay cuantificadores, pero no vienen al caso). A esto se le llama teorema de deducción. Pero es un resultado importante, que no es obvio de entrada.

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Considera \( A=\{2,3,4\} \) y \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de 2} \). Si consideramos la proposición \( \forall x\in A\,p(x) \) es falsa, porque aquí la variable \( x \) es genérica en el conjunto \( A \), o sea recorre los valores \( 2,3,4 \). Vemos que si \( x=2 \), luego \( p(2) \) es verdadera; si \( x=4 \) luego \( p(4) \) es verdadera, pero si \( x=3 \), \( p(3) \) es falsa. Por lo que la variable genérica aquí hace que la proposición sea falsa, no se cumple en todos los casos. En cambio si consideramos \( \exists x\,p(x) \), aquí vemos que la \( x \) debe elegirse convenientemente de modo que haga que \( p(x) \) sea verdadera; y es el caso pues con \( x=2 \), \( p(2) \) es verdadera.

No veo que haya que ser un matemático para entender el párrafo anterior, porque deja bastante claro para todo el mundo qué representa un elemento genérico de un conjunto.
Ahí parece que me estés diciendo que una variable es genérica si está cuantificada universalmente y no genérica si está cuantificada existencialmente. Pero esa no es la cuestión: la cuestión es distinguir las variables después de haber eliminado el cuantificador. Si yo tengo la fórmula \[ \forall x \, p(x) \] y particularizo, obtengo \[ p(a) \], donde \[ a \] es una nueva variable. Si en cambio tengo \[ \exists x \, p(x) \] y particularizo, de nuevo obtengo \[ p(a) \]. Las dos fórmulas \[ p(a) \] son idénticas, pero en la primera la \[ a \] es genérica y en la segunda no. Por eso digo que tienes que ir anotando las que son genéricas o no.

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No entiendo por qué dices que \( p\iff q \) no significa que \( p\to q \) y \( q\to p \) sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo, si es la regla nº10 que presento con nombre y todo.
Solamente si usas la segunda interpretación. Si usas la primera no, porque entonces la regla 10 es la fórmula \[ (p \iff q) \iff ((p\to q)\wedge (q \to p)) \] y no hay nada que permita trabajar con ella. Pero parece que has aceptado la interpretación 2, entonces no hay problema.

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Vamos por partes, porque creo entender la crítica.

El símbolo \( \equiv \) expresa, como su comando indica, "equivalente". Es análogo haber escrito \( \iff \). Así que ésto: \( p\land q\equiv q\land p \) es lo mismo que escribir \( p\land q\iff q\land p \).
Pero entonces tendrás que poner algunos axiomas o reglas que te diga cómo trabajar con \[ \iff \]. Porque aquí dices que es como \[ \iff \], que es un símbolo del lenguaje formal, pero luego lo usas como si fuera una regla de inferencia: "de \[ p\wedge q \] puedo deducir \[ q\wedge p \]" y viceversa.

No sé si acabas de ver la diferencia. Si yo estoy haciendo una demostración formal, yo no sé lo que significa \[ \iff \]. Solamente sé como manipular las fórmulas siguiendo a las reglas de inferencia y los axiomas. Entonces no puedo hacer nada con él que no provenga de las reglas que estoy usando.

Yo creo que originalmente \[ \phi\equiv \psi \] en esta lista está pensado como equivalencia lógica, en su versión semántica además. Es decir, \[ \equiv \] es un símbolo metamatemático (no forma parte del lenguaje formal) que quiere decir "\[ \phi \] es verdadero si y solo si \[ \psi \] es verdadero".
Aquí, para adaptarlo a un cálculo deductivo, lo puedes tomar como la versión sintáctica: "de \[ \phi \] se deduce \[ \psi \], y de \[ \psi \] se deduce \[ \phi \]". Así cada ley lógica sería como dos reglas de inferencia (una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda).

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Según entiendo yo, esta proposición se puede probar de dos formas distintas, una se basa en otra:

1º Forma (Tratándola como ley lógica): Mediante tablas de verdad. Se hace la tabla de verdad de \( p\land q \), se hace la de \( q\land p \) y se concluye que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, por tanto son equivalentes.
Ese es el razonamiento semántico, nada que objetat ahí.

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2º Forma (Tratándola como "razonamiento"): Mediante el uso del método demostrativo de los razonamientos válidos.

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
Bien, eso es lo que entiendo por una demostración formal (en un cálculo tipo Hilbert) salvo por la b). Si no restringes las equivalencias lógicas que puedes usar no tienes un cálculo deductivo (al menos como se entiende habitualmente). Pero si las reduces a las de las leyes que pusiste en la lista puede valer.

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Esto sería pensado así. Sabemos que \( p\land q\equiv q\land p \) es equivalente a \( p\land q\to q\land p \) (1)   y   \( q\land p\to p\land q \) (2), así que tiene la estructura de razonamiento (con sus premisas y conclusión) NO categórico (es decir no intervienen cuantificadores) que podemos expresar así:

(1) \( \begin{array}{l}p\land q\\\hline\therefore q\land p\end{array} \)      (2) \( \begin{array}{l}q\land p\\\hline\therefore p\land q\end{array} \)

Demostraremos que los razonamientos (1) y (2) son válidos, empleando el método demostrativo:

Para (1):

\( \begin{array}{lll}1)&p\land q&\text{Premisa}\\2)&q\land p&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Para (2):

\( \begin{array}{lll}1)&q\land p&\text{Premisa}\\2)&p\land q&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Por tanto como hemos llegado a las conclusiones en (1) y (2), se concluye que son razonamientos válidos y por tanto \( p\land q\equiv q\land p \).

¿Algo para comentar?
Hombre, al margen de lo que te decía antes sobre \[ \iff \] versus \[ \equiv \], esta el tema de que aquí pretendes demostrar una ley lógica usando la misma ley lógica. Es circular. Al margen de esto, no hay que pretender demostrar las leyes lógicas de tu lista. Es decir, si las pones en la lista es porque se supone que las vas a usar como axiolas o reglas primitivas. Si la puedes demostrar a partir de las demás, la puedes eliminar de la lista sin problemas.

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Sí, ¿y cuál es el problema? Digo, computacionalmente se puede ir almacenando variables genéricas y variables particulares, quizás sea un coñazo pero al fin y al cabo sigue siendo posible. Y ya te digo, en los ejercicios de la universidad no son razonamientos con 142 premisas, a lo sumo serán 3 o 4, bien cortitos.
Ninguno. Es una solución perfectamente plausible.

Es que \( \phi(x) \) no es una proposición, sino es un predicado. Y por supuesto que hay que entender la demostración para saber si esa \( x \) está siendo cuantificada universal o particularmente, pero no tiene nada que ver con dar una definición como hice. Son dos cosas distintas según mi punto de vista.
\[ \phi(x) \] pretendía ser una fórmula. En cualquier caso, la crítica es que a la definición "se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera" no le veo mucho sentido, no soy capaz de dar una interpretación precisa a esa frase.
Pero al margen de esto ya te digo que lo de ir anotando qué variables son genéricas y cuales no es una solución factible.

Insisto en que todos los problemas creo que viene de confusiones o mezclas entre sintaxis/semántica y sobre qué es (y qué no) una demostración formal o un cálculo deductivo. En una demostración formal manipulas cadenas de símbolos de acuerdo a unas reglas, pero esos símbolos no tienen significado ninguno. No puedes decir que \[ p \iff q \] es lo mismo que \[ p \to q \] y \[ q \to p \] sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo. Por eso es importante que un cálculo deductivo esté totalmente especificado, porque no puedes usar absolutamente nada fuera de él (como que sabes qué significa en realidad cada conector).

Sobre si este nivel de comprensión es suficiente para una asignatura que no es de una carrera de matemáticas, ahí ya no me meto.

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Sobre lo del debate "picado", es una expresión que significa que el debate está candente, pero que no quise darlo a entender de una mala manera, sino que de sus aportes puedo extraer mucha información útil.

geómetracat: entiendo todo lo que dices, incluso el ejejmplo de lo los lenguajes de programación. Pero ten en cuenta que todo el cálculo que podemos usar es el que expuse anteriormente, el de leyes lógicas y reglas de inferencia. Me interesa saber si ese conjunto de reglas es completo o no en el sentido que le doy a los "razonamientos matemáticos". Por supuesto que no todo no está debidamente justificado, ya que es un curso de iniciación y para nada pretende ser un cálculo complejo, sino que es sólo curiosidad mía.
De acuerdo.

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Está bien (no lo copié por pereza), si los nombres no te son sugerentes aquí va el listado completo de leyes lógicas y reglas de inferencia conocidas que se usan de base para demostrar cosas más complejas, y en las que estoy particularmente interesado saber si con ellas se forma un cálculo deductivo completo y elegante:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
\end{array}
 \)
Pero ahí te faltan las reglas de los cuantificadores, si quieres hacer lógica de primer orden.
Igualmente, me parece que sigue habiendo confusiones entre sintaxis y semántica. Por ejemplo, considera la ley lógica \[ p\wedge q \equiv q \wedge p \]. ¿Esto se debe interpretar como una regla de inferencia, de forma que si en una línea tengo \[ p \wedge q \], puedo deducir \[ q \wedge p \] y viceversa? En ese caso estamos en las mismas de antes, el cálculo no puede ser completo si no hay axiomas. Y si son axiomas, no sé que significa el símbolo \[ \equiv \] en una fórmula (igualmente no creo que el cálculo sea completo). Por otro lado el \[ V \] y \[ F \] que aparecen ahí, parceen el "verdadero" y "falso" semántico. Si fueran signos que forman parte del lenguaje formal, entonces faltan reglas para ellos.

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Se aclara lo siguiente:

- Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia (Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay cuantificadores.
Esto me parece confuso, o directamente falso. Es decir, para poder aplicar una regla se tiene que adaptar a la forma que tenga la regla. Pero si tienes por ejemplo \[ (\forall x \phi(x)) \to \psi \] y \[ \forall x \phi(x) \], puedes aplicar modus ponens para obtener \[ \psi \], a pesar de que haya cuantificadores.

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- Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento \( a \), éste no es genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con \( \forall \)), el elemento es genérico.
Vale, esto es una solución posible. Pero entonces tienes que ir anotando qué variables son genéricas y cuáles no.

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Y por supuesto se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera.
Pero de nuevo esto es una precisión semántica (un tanto vaga, pues tendrías que aclarar que significa que "un elemento represente a cualquier elemento del conjunto"), no sintáctica. Si yo veo una fórmula concreta \[ \phi(x) \], ¿cómo sé que \[ x \] es genérico o no? Hay que seguirle la pista a lo largo de la demostración, y lo que marca que una variable sea genérica o no en una demostración formal es si ha aparecido usando una particularización existencial (en ese caso no sería genérica).

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Topología (general) / Re: Espacios compactos (Kuratowski)
« en: 20 Marzo, 2021, 09:32 pm »
Sí, eso es. El lado grafo cerrado implica que la aplicación es continua puede fallar si el espacio de llegada no es Hausdorff compacto, como muestra el contraejemplo que has puesto.

En cambio, la otra implicación (si la aplicación es continua entonces su grafo es cerrado) se cumple siempre que el espacio de llegada sea Hausdorff, aunque no sea compacto.

80
Topología (general) / Re: Producto de espacios compactos
« en: 20 Marzo, 2021, 09:22 pm »
Sean \[ x,y \in Y_i \], ambos distintos de \[ p \]. Por como está definida la topología, cualquier entorno \[ U \] de \[ x \] (resp. entorno \[ V \] de \[ y \]) es cofinito, es decir, \[ U=Y_i \setminus F \] y \[ V = Y_i \setminus F' \], con \[ F,F' \] finitos. Pero entonces \[ U \cap V = Y_i \setminus (F \cup F') \neq \emptyset \], ya que \[ F \cup F' \] es finito e \[ Y_i \] es infinito.

En conclusión, ningún par de entornos de \[ x,y \] puede ser disjunto, luego la topología no es Hausdorff.

Si en cambio \[ Y_i \] es finito, entonces la topología es la discreta, pues todo subconjunto es cerrado, al ser finito.

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