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Mensajes - geómetracat

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Topología (general) / Re: Demostrar que es Lindelof
« en: 29 Mayo, 2016, 10:54 am »
Para a) intenta imitar la demostración de que la imagen de un compacto es compacta. Es esencialmente lo mismo cambiando finito por numerable. De hecho en este apartado no necesitas usar que \( f \) es abierta.

Para b) sea \( f(x) \in f(X) \). Queremos ver que hay una base numerable de entornos de \( f(x) \). Por hipótesis tenemos una base numerable \( \{U_n\} \) de entornos de \( x \). Como \( f \) es abierta \( \{f(U_n)\} \) es una colección numerable de entornos de \( f(x) \). Comprueba que es una base numerable de entornos de \( f(x) \).

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Bueno, fíjate que en tu solución habías dado el valor \( c=0 \) en los casos en que no es posible, y eso tiene tanta base como lo que hacen ellos. Vaya por delante que no sé cuál es el procedimiento estándar en estos casos (mejor pregunta a tu profesor) pero el sentido común me dice que lo óptimo es considerar las dos soluciones y quedarte con la que dé la función más sencilla. De cara a una implementación de la función en un circuito ésa es la que requerirá menos componentes (por tanto un circuito más fácil de diseñar y más barato de construir).

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Creo que en vez de tomar \( c \) como tú ellos consideran que \( c \) vale \( 1 \) también en los casos "no es posible". Por eso el comentario de "Amb X=1" en la solución. Si lo haces como tú ya no se simplifica más.

Sobre el c) ni idea, la electrónica me queda muy lejos ya.

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Es bastante directo una vez tienes el apartado a. Recuerda que \( K[\mathbb{A}^n] = K[X_1,...,X_n] \), el anillo de polinomios con coeficientes en \( K \) en \( n \) variables y recuerda también que la dimensión de una variedad \( X \) coincide con el grado de trascendencia de \( K[X] \) sobre \( K \).

Ahora por un lado si tienes un morfismo dominante como el del enunciado, usando a) tienes un homomorfismo inyectivo de \( K[X_1,...X_n] \) en \( K[X] \), y es fácil ver que esto implica que el grado de trascendencia de \( K[X] \) es como mínimo \( n \). Por otro lado, si el grado de trascendencia de \( K[X] \) es \( n \) es fácil ver que hay un homomorfismo inyectivo \( g:K[X_1,...,X_n] \rightarrow K[X] \) al que le corresponde un morfismo de variedades \( f:X\rightarrow \mathbb{A}^n \) que por a) es dominante.

Combinando estos dos hechos tienes el resultado.

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No sé cómo lo demostraron los pitagóricos, pero es una igualdad muy sencilla de pensar geométricamente.

Por inducción, imagina que tienes un cuadrado de lado \( n \) y por tanto área \( n^2 \). Entonces, para obtener a partir de éste un cuadrado de lado \( n+1 \) (área \( (n+1)^2 \)) basta con poner un rectángulo de lados \( n \) y \( 1 \) a la derecha, otro igual arriba y rellenar el hueco que queda con un cuadradito de lado \( 1 \). Espero que con esta descripción se vea el dibujo. Entonces fíjate que el área que has añadido al cuadrado original para obtener el nuevo es \( 2n+1 \). Por supuesto, esto no es más que una versión geométrica de la igualdad \( (n+1)^2 = n^2 + (2n+1) \).

2246
Es la correspondencia básica en geometría algebraica, lo puedes encontrar en cualquier libro. Por ejemplo mira aquí (en particular la proposición 4.1.16):

https://www.google.es/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://people.math.gatech.edu/~aleykin3/math4803spr13/BOOK/chapter4.pdf&ved=0ahUKEwiCzYDU1_nMAhWCSxoKHT8MCmYQFgggMAI&usg=AFQjCNEFhQ_sGSZvoXp6CXkWydtkpSvfxA&sig2=_-jt1n2LtvO-ABawEJaoLw

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Solamente tienes que aplicar la definición usando que conoces totalmente la estructura de los ideales de \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \). De hecho, sabes que los ideales primos son exactamente los de la forma \( p\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) donde \( p|n \) (\( 0 \) no es ideal primo si \( n \) no es primo). Como ninguno de estos ideales primos está contenido estrictamente en otro la longitud máxima de una cadena ascendente de ideales primos es \( 1 \), y la dimensión de Krull del anillo es \( 0 \).

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Topología (general) / Re: Es un subespacio completo?
« en: 26 Mayo, 2016, 08:55 pm »
Demuestra que \( A \) es cerrado y usa que un subespacio cerrado de un espacio métrico completo es completo.

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Topología (general) / Re: Propiedad topológica
« en: 26 Mayo, 2016, 08:30 pm »
Supongo que por propiedad topológica te refieres a que es invariante por homeomorfismos. Supongamos que \( X \) no es conexo, esto es, existen dos abiertos no vacíos y disjuntos \( U,V \) de \( X \) tales que \( X = U \cup V \). Ahora, si \( f:X \longrightarrow Y \) es un homeomorfismo, \( f(U), f(V) \) son dos abiertos disjuntos no vacíos de \( Y \) que satisfacen \( f(U) \cup f(V) = Y \). Por tanto \( Y \) no es conexo. Como el homeomorfismo de espacios es una relación simétrica, esto prueba que si \( X, Y \) son homeomorfos, \( X \) es conexo si y sólo si \( Y \) lo es.

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No. Hay conjuntos de medida Lebesgue nula que no son numerables, como por ejemplo el conjunto de Cantor.

Por otra parte tienes razón en que todos los conjuntos numerables son de Borel y de medida nula.

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No. Hay conjuntos que no son de Borel pero están contenidos en uno de medida nula. Por ejemplo, se puede ver que existe algún subconjunto del conjunto de Cantor que no es Borel (pero es nulo por estar contenido en el conjunto de Cantor que tiene medida nula).

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Teoría de números / Re: Cúmulos de primos
« en: 25 Mayo, 2016, 04:21 pm »
Jaja, me lo había imaginado. Como al principio del artículo no hacen más que poner conjeturas varias...

Bueno, parece que esto resuelve el asunto.

Por cierto, gracias por el artículo de Granville, parece un buen sitio donde aprender algo sobre el tema para un lego. Desde luego, se ve más asequible que el de Maynard.

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Teoría de números / Re: Cúmulos de primos
« en: 25 Mayo, 2016, 04:05 pm »
Pues tienes toda la razón. Pero en ese artículo precisamente lo ponen como corolario del teorema de Maynard, ¿no? ¿Dónde dice que sea una conjetura?

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Teoría de números / Re: Cúmulos de primos
« en: 25 Mayo, 2016, 03:31 pm »
Una conversación muy interesante. Si me permitís, un par de comentarios sobre el tema.

El primero aunque no es de relevancia directa sobre el tema que se está tratando, arroja cierta luz sobre el comportamiento de los primos y además es uno de los grandes teoremas sobre primos que se han demostrado últimamente. Lo comento por si alguien no lo conoce. El teorema de Green-Tao afirma que dado cualquier número natural \( k>0 \), existe una progresión aritmética de longitud \( k \) donde todos sus elementos son primos.

El segundo, más relevante para la discusión, es que recuerdo haber ido hace un par de años a una conferencia de un tal James Maynard donde hablaba de este tipo de problemas. En particular, parecía que usando técnicas de cribaje se habían hecho avances importantes hacia una demostración de la conjetura de los primos gemelos y también hacia problemas del mismo tipo que los que estáis hablando aquí. Esto está muy alejado de mi campo así que tampoco puedo aportar mucho, pero igual sería buena idea echar un vistazo a los papers de este hombre.

Tras una búsqueda en google he encontrado éste que parece bastante relevante:

http://arxiv.org/abs/1311.4600

En particular, el resultado principal de este paper implica que dado cualquier natural \( m \), existe otro natural \( C \) tal que existen infinitos intervalos de \( C \) números naturales consecutivos con \( m \) primos. Parece que esto demuestra que la conjetura original de Gaussito es falsa.

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Topología Algebraica / Re: Homotopía e índice
« en: 25 Mayo, 2016, 02:38 pm »
Supongo que te refieres al índice de una curva cerrada \( \gamma \) respecto a un punto \( p \in \mathbb{C} \). En ese caso, es un teorema de Hopf que el índice depende sólo de la clase de homotopía libre de la curva en \( \mathbb{C} - \{p \} \). Esto es, si tienes dos curvas cerradas \( \gamma, \gamma' \) que son homótopas como curvas cerradas en \( \mathbb{C} - \{p \} \) (es decir, existe una aplicación contínua \( H:S^1 \times [0,1] \longrightarrow \mathbb{C} - \{p \} \) tal que \( H(x,0)=\gamma(x) \) y \(  H(x,1)=\gamma'(1) \)) entonces las dos curvas tienen el mismo índice respecto de \( p \).

Lo importante es observar que lo único que pides a la homotopía es que no pase en ningún momento por el punto \( p \) respecto del que calculas el índice, ya que en caso contrario siempre podrías contraer cualquier curva a un punto, y que la homotopía se haga a través de curvas cerradas, ya que si no podrías "abrir" los extremos y contraer a un punto cualquier curva sin pasar por \( p \).

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Cálculo de Varias Variables / Re: Problema de diferenciabilidad
« en: 25 Mayo, 2016, 08:31 am »
No hay que usar valor medio (que además sólo sirve en convexos).

Como \( f \) es continua en \( \bar{G} \) que es un compacto (por ser \( G \) acotado), \( f \) alcanza el máximo y el mínimo en \( \bar{G} \). Ahora, o bien uno de estos dos puntos está en \( G \) y entonces la derivada allí es \( 0 \), o bien ambos están en la frontera. Te dejo que acabes la demostración tú mismo.

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Cálculo 1 variable / Re: Subsucesiones
« en: 25 Mayo, 2016, 07:59 am »
La subsucesión \( a_{2n+1} \) es la sucesión constante \( 0 \), por  tanto es una subsucesión convergente.

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Usa que \( a_{3n} \) converge para ver que \( a_{2n} \) y \( a_{2n+1} \) convergen al mismo número. Una vez tienes eso puedes demostrar que tu observación de que \( a_{2n} \) y \( a_{2n+1} \) cubren todo el dominio implica que \( a_n \) converge al mismo número que \( a_{2n} \) y \( a_{2n+1} \) (usa la definición de límite).

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Creo que el enunciado no es correcto tal como está. Necesitarás una condición parecida también en el infinito. Por ejemplo \( f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x,y) = x^2 - y^2 \) cumple trivialmente lo pedido (la frontera de \( \mathbb{R}^2 \) es vacía) y sin embargo no tiene ni máximo ni mínimo.

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Creo que la mejor respuesta que te puedo dar a las preguntas que planteas es que te leas el siguiente artículo:

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Greenberg2011.pdf

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