\[
\newcommand{\op}[1]{\operatorname{#1}}
\newcommand{\zpg}[2]{\mathbb{Z}_{#1}\left/\left \langle #2(x) \right \rangle\right.}
\]
Hola:
Algunas cosas a tener en cuenta. Por comodidad, le daremos un nombre al grado de un polinomio y al orden de un elemento, diremos
\( \op{deg}(f(x))=n \) si el grado del polinomio \( f(x)\text{ es } n \).
\( \circ(x)=h \) si el orden del elemento \( x\text{ en un cuerpo } K\text{ es }h \).
Como ejemplo, para los \( x\text{ y }g(x) \) que mencionamos anteriormente, se tiene
\( \op{deg}(g(x))=8\text{ y }\circ(x)=51 \).
Por otro lado, los elementos de \( \zpg{p}{f},\;\zpg{2}{g} \), en nuestro caso los consideramos como polinomios del tipo \( x,\,x+1,x^3+x+1,\dots \), en realidad estos polinomios son clases de equivalencia de polinomios en \( \mathbb{Z}_2\left[x\right] \), los escribimos como polinomios corrientes, pero cualquiera de los polinomios mencionados, \( x^3+x+1 \), por ejemplo, podríamos escribirlo como
\begin{equation}\label{pol:equiv}
x^3+x+1+p(x)g(x)\text{ con }p(x)\in \mathbb{Z}_2\left[x\right]
\end{equation}
que representarían el mismo elemento en el campo \( \zpg{2}{g} \).
La expresión \eqref{pol:equiv}, será crucial para simplificar los cálculos en productos, divisiones y restos, módulo \( g(x) \).
Editado.
También nos resultarán útiles a la hora de realizar cálculos, el endomorfismo de Frobenius y el grado de x.
Si quisiéramos calcular algo como
\( (x+1)^{65} \), obtenemos:
\begin{equation}\label{frob:simplif}
(x+1)^{65}=(x+1)^{64+1}=\left(x^{64}+1\right)(x+1)=\left(x^{13}+1\right)(x+1)
\end{equation}
En \eqref{frob:simplif}, como 64 es potencia de 2, se puede aplicar el endomorfismo de Frobenius (se puede pasar adentro del paréntesis) y como \( \circ(x)=51 \) y \( 64\equiv 13\mod 51 \), se tiene que el 64 se transforma en 13.
Saludos.
