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Matemática => Geometría y Topología => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Mensaje iniciado por: alucard en 23 Febrero, 2021, 10:49 pm

Título: Transformación lineal duda con el enunciado
Publicado por: alucard en 23 Febrero, 2021, 10:49 pm
Hola tengo una duda con el enunciado me parece contradictorio las lo que se pide

Sea \( T:R^3 \to R^3/T(x.y,z)=(3x-3y+z,(k-1)y+3z.kz) \) para cierto k perteneciente a los reales , se sabe que existe un vector no nulo  \( v\in R^3 \)
tal que \( T(v)=2v \) y que T es un monomorfismo.

Consideremos las siguientes proposiciones

1 La matriz asociada en bases canónicas es diagonalizable
2 T no es isomorfo

No entiendo las proposiciones , o sea 2 es falsa , dado que el enunciado ya inidca que es un monomorfismo por ende debe ser epimorfimos para que se cumpla el teorema de las dimensiones , no ???

No se para que esta el dato de  \( T(v)=2v \) ??? si ni en 1 ni 2 me lo piden , entiendo que solo debo trabajar con la matriz asociada , alguna ayuda  ?
Título: Re: Transformación lineal duda con el enunciado
Publicado por: delmar en 24 Febrero, 2021, 12:18 am
Hola

En efecto la 2 es falsa, ha de cumplirse el teorema de las dimensiones.

Para la 1, halla la matriz A y halla los autovalores, haz las cuentas pero son \( \lambda_1=3 \ , \lambda_2=k, \ \lambda_3=k-1 \) como 2 es un autovalor puedes considerar que uno de los dos autovalores desconocidos es 2 y se obtiene el otro autovalor, en caso sean diferentes los autovalores los autovectores son linealmente independientes y se pueden tomar como base y en consecuencia sería diagonizable. En caso que dos autovalores sean iguales hay que averiguar los autovectores y comprobar su independiencia lineal en caso afirmativo se pueden tomar como base y A es diagonizable.



Saludos
Título: Re: Transformación lineal duda con el enunciado
Publicado por: alucard en 24 Febrero, 2021, 08:27 pm
Gracias;  lo pude terminar al ejercicio.