Hola
En el conjunto de los números enteros \( Z \) se define la siguiente topología:
\( T=\{{A\subset{Z}/2n\in{A}\Longleftrightarrow{2n-1}\in{A}}, \forall{n\in{Z}}\} \)
No me queda claro cómo se interpretaría esto. Es decir no me queda claro qué característica deben poseer los conjuntos para que en esta topología sean abiertos, porque en la definición dice que la condición de que tanto un número par como su anterior deben pertencer al conjunto, pero "\( \forall{n\in{Z}} \)", lo que hace pensar que el único conjunto que puede cumplir esto sería el propio connjunto de los enteros \( Z \). Leído coloquialmente diría que: "Un subconjunto de los enteros es abierto si contiene a todos los números pares e impares". Porque si se hubiera referido a que \( \exists{n\in{Z}/2n\in{Z}\wedge2n-1\in{Z}} \) no debería aparecer el símbolo de "para todo" y, por ejemplo, el conjunto \( A=\{4;3\} \) sería abierto.
Pero no me queda claro cómo interpretarlo.
Significa que \( T \) está formado por los conjuntos \( A \) que cumplen la siguiente propiedad:
Si \( 2n\in A \) entonces \( 2n-1\in A \)
Es decir si un número par está en \( A \) entonces también está su número impar inmediatamente anterior; pero eso no obliga a que estén todos los pares.
O por oposición: no es abierto el conjunto contiene a un número par pero no a su impar inmediatamente anterior.
Por ejemplo serían abiertos:
\( \emptyset, \{3,4\},\{7\},\{1,3,5,6\},\{11,12,19,20,101,117,119\} \)
(el vacío también; en caso contrario debería de contener un par pero no su impar anterior y no es así simplemente porque no contiene ningún elemento par).
No lo serian:
\( \{1,3,18\},\{6\},\{4,5,6,7,8\},\{12\} \)
Es topología:
1) Claramente el vacío y el total están en \( T \).
2) Si \( A,B\in T \) entonces \( A\cap B\in T \).
Efectivamente, si \( 2n\in A\cap B \), entonces:
- \( 2n\in A \) y como \( A\in T \) entonces \( 2n-1\in A \).
- \( 2n\in B \) y como \( B\in T \) entonces \( 2n-1\in B \).
y por tanto \( 2n-1\in A\cap B \).
3) Si \( \{A_i\}_{i\in I}\subset T \) entonces \( \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i\in T \).
Efectivamente, si \( 2n\in \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \), entonces \( 2n\in A_{i_0} \) para algún \( i_0\in I \). Como \( A_{i_0}\in T \) entonces \( 2n-1\in A_{i_0} \) y \( 2n-1\in\displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \).
Saludos.