Voy a llamar \( a,b \) a los dos tipos de billetes.
Algunas consideraciones:
0) Está claro que \( a,b>1 \). Si alguno fuese uno podríamos formar cualquier cantidad.
1) Está claro que \( a,b \) no pueden tener divisores comunes (distinto del uno), es decir, son coprimos. En otro caso, cualquier cantidad formada por combinaciones de esos dos tipos de billetes sería múltiplo de ese divisor común y por tanto no podríamos formar cantidades que no cumpliesen esa condición (por ejemplo si ambos son pares no podríamos formar cantidades impares). Pero el enunciado dice que sólo hay \( 15 \) cantidades que no podemos formar.
2) Si no podemos formar el \( 18 \) entonces \( a,b \) no pueden ser divisores de \( 18 \), porque entonces podríamos formar esa cantidad. Eso descarta los valores \( 1,2,3,6,9,18 \).
Todo lo anterior creo que es fácil de entender y explicar.
3) Dados \( a,b \) coprimos el mayor número que NO puede formarse tomando sumas no negativas de ellos es \( ab-a-b=(a-1)(b-1)-1 \). Esto es un resultado conocido: es el
problema de la moneda. La demostración no es difícil... pero no tengo claro que no lo sea para 2º de ESO. Si quieres te enlazo o te escribo alguna demostración.
Entonces dado que el \( 18 \) no puede formarse sabemos que:
\( (a-1)(b-1)-1\geq 19 \) es decir \( (a-1)(b-1)\geq 20 \)
4) A partir de aquí para cada par \( (a,b) \) con \( a<b \) en las condiciones anteriores: coprimos, distintos de \( 1,2,3,6,9,18 \) y cumpliendo \( (a-1)(b-1)\geq 20 \) tenemos que ver cuantos números NO pueden formarse.
Serán \( ab-a-b \) (el máximo que no puede formarse) menos los números más pequeños que si pueden formarse que son todos los pares \( (x,y)\neq (0,0) \) de números enteros no negativos cumpliendo \( ax+by<ab-a-b \). No se me ocurre una fórmula cerrada para contarlos y no veo otra que contarlos a mano. El objetivo es que:
\( ab-a-b-cardinal\{(x,y)\neq (0,0)|x,y\in \Bbb Z,\quad ax+by<ab-a-b\}=15 \)
Gráficamente ese número que hay que descontar es el número de puntitos verdes que se ven bajo la recta \( ax+by=ab-a-b \) del dibujo.
5) Y ahora vendría el tanteo:
Para \( a=4 \) (que es el valor más pequeño posible) se tiene que cumplir que \( (4-1)(b-1)\geq 20 \), es decir, \( b\geq 8 \). El primer valor posible de \( b \) (coprimo con \( a \) y distinto de \( 1,2,3,6,9,18 \)) es \( b=11 \). Y ahí ya se ve que hay \( 14 \) posibles pares \( (x,y)\neq 0 \) de enteros positivos cumpliendo \( 4x+11y\leq 4*11-4-11=29 \)
\( 29-14=15 \) ¡Eureka!
Se puede ver que no hay más soluciones.
