Hola a todos,
Estoy intentando consolidar un poco mejor el concepto de compacidad y propiedades relacionadas con éste. Para ello me había propuesto algunos ejercicios, pero necesito (como siempre :'( ) un empujón. Los ejercicios en cuestión eran los siguientes:
1. Sea \( (X, \tau) \) un espacio topológico T2. Probar que si \( \{ K_i \}_{i \in I} \) es una familia de subespacios compactos de \( X \), entonces \( \bigcap_{i \in I} K_i \) también es compacto.
En este, lo primero que me había venido a la cabeza era usar la propiedad de que todo subespacio compacto de un espacio T2 es cerrado, ya que entonces tendríamos que para cada \( i \in I \), \( K_i \) es cerrado y como la intersección arbitraria de cerrados es cerrada, entonces \( \bigcap_{i \in I} K_i \) es cerrado. Sin embargo, no sé cómo seguir porque creo que el recíproco no tiene por qué ser cierto, quiero decir en un espacio Hausdorff podrías tener un subespacio que fuese cerrado y no compacto, ¿no? En ese caso, ¿cómo podría ver que es compacto teniendo como hipótesis que es cerrado? ¿O debería seguir otro razonamiento?
2. Sea \( (X, \tau) \) un espacio topológico y \( \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \) una sucesión que converge a \( x \). Probar que el subespacio \( S = \{x\} \cup \{x_n \mid n \in N^*\} \) es compacto.
De nuevo vuelvo a tener "el mismo problema". He visto que \( S \) es cerrado, porque tomas una sucesión convergente en \( S \) (la del enunciado) y ves que el punto al que converge se queda dentro. Lo que pasa es que cerrado no tiene por qué implicar compacto. Entonces, ¿cómo habría que verlo? ¿Por definición? Sabemos que un subespacio topológico \( K \) de \( (X, \tau) \) es compacto si y solo si todo recubrimiento de \( K \) por abiertos de \( X \) admite un subrecubrimiento finito. Lo que no sé es, si defino un recubrimiento de \( S \) por abiertos de \( X \), cómo escoger un subrecubrimiento finito. No sabemos qué forma tienen los abiertos de esa topología, pero sabemos que a partir de un cierto \( n_0 \in N^* \), los términos de la sucesión se van a meter en un entorno de \( x \), que va a tener dentro un abierto y ese sería uno del subrecubrimiento finito. El problema vendría en los abiertos de los términos de antes del \( n_0 \), que no sabemos cuántos necesitamos y podrían ser infinitos, ¿no? Me estoy liando un poco.
3. Sean \( (X, \tau) \) un espacio de Hausdorff, \( K \subseteq X \) un compacto y \( x \in X - K \). Demostrar que existen dos abiertos \( A, B \in \tau \) tales que \( x \in A \), \( K \subseteq B \) y \( A \cap B = \emptyset \)
Como tenemos un compacto en un Hausdorff, \( K \) es cerrado y \( X-K \) es abierto, además \( K \cap (X-K) = \emptyset \). Si hubiera alguna forma de demostrar que \( K \) también es abierto, lo tendríamos ya, porque de no poderse hacer no sabría como tomar "un trozo" de \( X-K \) sin que deje de ser abierto y que no contenga a \( x \) y "pegarlo" a \( K \) para transformarlo en abierto.
Por otro lado, también había pensado que para cada punto \( y \in K \), como \( K \cap (X-K) = \emptyset \), tenemos que \( y \neq x \), luego por la propiedad de hausdorff existen los abiertos \( A_x, B_y \in \tau \) tales que \( A_x \cap B_y = \emptyset \), y después considerar la unión de los \( B_y \) para cada \( y \in K \), sin embargo, sé que probablemente estará mal porque para cada \( y \), cambia el abierto que contiene a \( y \) pero también el que contiene a \( x \), ¿no? Aunque \( x \) esté fijo. Así que no sé si se cumpliría que la unión de los \( B_y \) (que es un abierto) intersecada con lo otro fuese vacía.
Si podéis ayudarme a aclarar un poco las cosas...
