Hola
Hola:
Propongo el siguiente ejercicio de Topología general:
Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico. Se dice que \( G\in\tau \) es un abierto regular si \( G=\,\stackrel{\circ}{\overline{G}} \) y se dice que \( F\in{\cal C}_{\tau} \) es un cerrado regular si \( F=\overline{\stackrel{\circ}{F}} \).
Pruébese:
i) \( A\in\tau\Longrightarrow \overline{A} \) es un cerrado regular
Por ser \( A \) abierto \( \stackrel{\circ}{A}=A \).
Tienes que (usando que \( A \) es abierto):
\( A\subset \overline A\quad \Rightarrow{}\quad\stackrel{\circ}{A}\subset \stackrel{\circ}{\overline A}
\quad \Rightarrow{}\quad A=\stackrel{\circ}{A}\subset \stackrel{\circ}{\overline A}\quad \Rightarrow{}\quad \overline{A}\subset \overline{\stackrel{\circ}{\overline A}} \)
Recíprocamente (y en esta inclusión no usamos que \( A \) sea abierto):
\( \stackrel{\circ}{\overline A}\subset \overline A\quad \Rightarrow{}\quad \overline{\stackrel{\circ}{\overline A}}\subset \overline{\overline{A}}=\overline{A} \).
De ambas cosas \( \overline{A}=\overline{\stackrel{\circ}{\overline A}} \), es decir \( \overline A \) es cerrado regular.
ii) \( B\in{\cal C}_{\tau}\Longrightarrow \stackrel{\circ}{B} \) es un abierto regular
Es análogo. Por ser \( B \) cerrado, entonces \( \overline B=B \).
\( \stackrel{\circ}{B}\subset B\quad \Rightarrow{}\quad \overline{\stackrel{\circ}{B}}\subset \overline{B}=B \quad \Rightarrow{}\quad \stackrel{\circ}{ \overline{\stackrel{\circ}{B}}}\subset \stackrel{\circ}{B} \)
\( \stackrel{\circ}{B}\subset \overline{\stackrel{\circ}{B}}\quad \Rightarrow{}\quad
\stackrel{\circ}{\stackrel{\circ}{B}}\subset \stackrel{\circ}{\overline{\stackrel{\circ}{B}}}\quad \Rightarrow{}\quad
\stackrel{\circ}{B}\subset \stackrel{\circ}{ \overline{\stackrel{\circ}{B}}} \).
Saludos.
