[weimar]

Hallar el area de la esfera \( x^2+y^2+z^2=12 \) que no se encuentra en el interior del paraboloide \( z=x^2+y^2 \)
Hola, parametrize la esfera \(  \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \sin \phi,2\sqrt{3}\sin \theta \sin \phi,2\sqrt{3}\cos \phi) \)
com \( \theta \in[0,2\pi] \) e \( \phi  \)  varia en que intervalo???

[Richard R Richard]

si \( z=x^2+y^2 \)

y 

\( x^2+y^2+z^2=12  \)


la esfera intersecta al paraboloide en


\( z+z^2=12 \)


resuelves la cuadrática, tomas el valor positivo ya que el negativo no se condice con la primer ecuación  resultando \( z=3 \)


cuando \( y=0 \) si \( z=3 \) entonces \( x=\sqrt 3 \)  y cuando \( x=0 \)  resulta \( y=\sqrt 3 \)


luego \( \phi =arctan\dfrac{z}{x} =arctan\dfrac{z}{y}= arctan\sqrt 3=\dfrac{\pi}{3} \)


así los limites de \( \phi \) seran  \( -\dfrac{\pi}{2} \) y \( \dfrac{\pi}{3} \)

[weimar]

Hola, porque el \( \phi \) inicia  en el  \( -\pi/2 \). 
En general yo uso que \( \phi \in [0,\pi] \) , entonces siendo asi no seria por el enunciado que: \( \phi \in [\pi/3,\pi] \)

[Richard R Richard]

Como parametrizas el tercer y cuarto cuadrante? es decir las z negativas, para mi eso son los ángulos de \(  \phi  \) entre \( -\pi/2 \) y \( 0 \), luego sigues subiendo hasta que\(  \phi=\pi/3 \)




el paraboloide solo intersecta la esfera en las z positivas , en la parte negativa tienes la semiesfera entera.

[weimar]

Hola , sustituyendo en la integral para calcular el area,  usado  $$\phi \in [-\pi/2,\pi/3]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/3} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=-12\pi  \sqrt{3}  $$

Ahora usando mi $$\phi \in [\pi/3, \pi]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/3}^{\pi} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=12\pi (\sqrt{3}+2)  $$ que si resulta igual a la respuesta que colocaron aqui. Que estraño 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola , sustituyendo en la integral para calcular el area,  usado  $$\phi \in [-\pi/2,\pi/3]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/3} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=-12\pi  \sqrt{3}  $$

Ahora usando mi $$\phi \in [\pi/3, \pi]$$ sale

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/3}^{\pi} 12 \sin \phi  d \phi   d \theta=12\pi (\sqrt{3}+2)  $$ que si resulta igual a la respuesta que colocaron aqui. Que estraño 

Es que tu tomas esféricas tomando como ángulo cero el polo Norte y ángulo \( \pi \) el Sur:

\( \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \color{red}\sin \phi \color{black},2\sqrt{3}\sin \theta \color{red} \sin \phi\color{black},2\sqrt{3} \color{red}\cos \phi\color{black}) \)

 Entonces los límites correctos son $$\phi \in [\pi/3, \pi]$$.

Richard estaba pensando en esta otra parametrización:

\( \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \color{red}\cos \phi \color{black},2\sqrt{3}\sin \theta \color{red} \cos \phi\color{black},2\sqrt{3} \color{red}\sin \phi\color{black}) \)

Saludos.

[delmar]

Hola

Solamente para complementar, el parámetro \( \phi \) que utilizar Richard R Richard es el ángulo entre el radio vector del punto y el plano XY, considerando negativos los que están debajo del plano y positivos los que están encima, en esas condiciones la parametrización es la que ha puesto Luis Fuentes y ahí \( \phi \in{[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{3}]} \) en esas condiciones el integrando es \( 12 cos \phi \), verifica.

El parámetro  \( \phi \) que utilizas es el ángulo entre el radio vector del punto y el semieje positivo z en ese caso la parametrización es la que menciona Luis Fuentes, evidentemente hay un pequeño error tipográfico \( \phi\in{[\frac{\pi}{6}, \pi]} \), es decir el integral que has puesto esta mal (los límites) pero sale igual, verifica el integral correcto es :

\( \int_{0}^{2 \pi}\int_{\pi/6}^{\pi} 12 sen \phi \ d \phi d \theta \)




Saludos

[Richard R Richard]

Richard estaba pensando en esta otra parametrización:

\( \varphi(\theta,\phi )=(2\sqrt{3}\cos \theta \color{red}\cos \phi \color{black},2\sqrt{3}\sin \theta \color{red} \cos \phi\color{black},2\sqrt{3} \color{red}\sin \phi\color{black}) \)

Saludos.

Si  ahora veo que no se corresponde a la forma en que él la planteaba....  con esa  se parte del complemento de \( \pi /3 \)   que es \( \pi/6 \) hasta \( \pi \)

[weimar]

Gracias muchados,  muy buena la aclaracion que  $$\phi \in [\pi/6,\pi]$$  entendi ahora.