[caantamha]

Buen día.

¿Me podrían ayudar indicandome una base para el espacio de aplicaciones multilineales? 

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Me podrían ayudar indicándome una base para el espacio de aplicaciones multilineales? 

Pues por ejemplo: considera el espacio vectorial \( M(\underbrace{V\times V\times \ldots\times V}_k,W) \) de aplicaciones multilineales de \( \underbrace{V\times V\times \ldots\times V}_k \) a otro espacio vectorial \( W \).

Sean \( B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} \) base de \( V \) y \( B'=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \) base de \( W \).

Entonces una base de  \( M(\underbrace{V\times V\times \ldots\times V}_k,W) \) está formado por el conjunto de aplicaciones:

\( f_{i_1,i_2,\ldots,i_k;j}(v_{s_1},v_{s_2},\ldots,v_{s_k})=\begin{cases}{w_j}&\text{si}& i_1=s_1,\,i_2=s_2,\,\ldots,\,i_k=s_k\\0 & \text{en otro caso}& \end{cases} \)

donde \( 1\leq i_1,i_2,\ldots,i_k\leq n,\quad 1\leq j\leq m \).

Saludos.

[S.S]

Hola, estoy viendo este hilo y me pregunte:

Si \( V = \mathbb{R^{n}} \) e \( W = \mathbb{R^{m}} \) e intente plantear las funciones \( f_{i_1,i_2,...,i_k;j} \) pero no entendí la nomenclatura de los \( i_k, i_k = 1,..., n \).

Es más: ¿qué dimensión tendría este espacio?


\(  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estoy viendo este hilo y me pregunte:

Si \( V = \mathbb{R^{n}} \) e \( W = \mathbb{R^{m}} \) e intente plantear las funciones \( f_{i_1,i_2,...,i_k;j} \) pero no entendí la nomenclatura de los \( i_k, i_k = 1,..., n \).

Es más: ¿qué dimensión tendría este espacio?.

Tiene dimensión \( n^k\cdot m \).

Por ejemplo si \( k=2 \), \( n=3, m=4 \) y trabajas en las bases canónicas,

\( f_{1,1;1} \) es la función que lleva \( f_{1,1;1}((1,0,0),(1,0,0))=(1,0,0,0) \) y todo los demás pares de vectores de la canónica en cero. Sería en concreto:

\( f_{1,1;1}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=(x_1y_1,0,0,0) \)

\( f_{2,3;4} \) es la función que lleva \( f_{2,3;4}((0,1,0),(0,0,1))=(0,0,0,1) \) y todo los demás pares de vectores de la canónica en cero. Sería en concreto:

\( f_{2,3;4}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=(0,0,0,x_2y_3) \)

En general:

\( f_{i_1,i_2;j}((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_{i_1}y_{i_2}\vec e_j \)

siendo \( e_1=(1,0,0,0) \), \( e_2=(0,1,0,0) \), \( e_3=(0,0,1,0) \), \( e_4=(0,0,0,1). \)

Saludos.

[S.S]

Hola Luis. Gracias por la respuesta.

Un par de preguntas mas:
 \( 1. \)¿Este espacio vectorial esta definido sobre \( \mathbb{R} \)?
\( 2. \) Para probar la independencia lineal de esta base: ¿estudio los casos donde alguna  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \) no se anula y las demás si, con esto llego que el escalar que acompaña a esta  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \)  es cero y así para los demás escalares?


Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Un par de preguntas mas:
 \( 1. \)¿Este espacio vectorial esta definido sobre \( \mathbb{R} \)?

Si.

\( 2. \) Para probar la independencia lineal de esta base: ¿estudio los casos donde alguna  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \) no se anula y las demás si, con esto llego que el escalar que acompañ a esta  \( f_{i_1,i_2,...,i_k, j} \)  es cero y así para los demás escalares?

Supón que trabajas en las bases que te indiqué en mi primera respuesta:

Sean \( B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} \) base de \( V \) y \( B'=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \) base de \( W \).ç

Si tienes una combinación lineal \( \displaystyle\sum a_{i_1,i_2,...,i_k;j}f_{i_1,i_2,...,i_k:  j} \) igualadas a cero, evaluando en un vector \( (v_{j_1},v_{j_2},\ldots,v_{j_k}) \) te queda:

\( \displaystyle\sum_{j=1}^m a_{j_1,j_2,...,j_k; j}w_j=0 \)

Por ser \( B'=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \) base (y entonces independientes) deduces que  \( a_{j_1,j_2,...,j_k, j}=0 \) para \( j=1,2,\ldots,m \).

Saludos.