Pienso que una ventaja, para el caso de los espacios de Hilbert, es que se puede asociar al funcional un vector del propio espacio (lema de Riesz), y también trabajar con el dual del dual, que a veces es el propio espacio y otras es uno que lo incluye.
Aunque de hecho, el dual de un espacio real se puede definir como sobre los complejos, no es necesariamente sobreyectivo.
Si lo quisieramos ver para hacerlo fácil en dimension 1, el dual de los reales son los propios reales, si quisieramos funcionales lineales que operando sobre los reales nos cubriesen todos los complejos la solución serían los complejos.
El libro de Reed define el dual genéricamente sobre los complejos (pag 72) aunque no pide que sea sobreyectivo, por lo que lo trabajamos en el sentido clásico, es decir si es sobre un espacio real, el dual es sobre los reales aunque esten dentro de los complejos.
